Wie beweist man, dass etwas ein Homomorphismus ist bei so einer Abbildung?

Question

Ich frage selten nach sowas, aber vielleicht könnte mir jemand Schritt für Schritt erklären, wie man so eine Aufgabe lösen muss. Ich wäre sehr dankbar!

Entscheide ob die Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W ein Homomorphismus ist.

Die Abbildung:

K := ℝ

V := Abb(ℝ, ℝ)

W := Abb(ℝ, ℝ)

φ: ƒ ↦ (1 + \( \sqrt{5} \)) ƒ

Also ich verstehe, dass es gewisse Sachen gibt, welche man nachweisen muss um zu zeigen, dass es ein Homomorphismus ist. Mein Problem ist, dass ist schon an der ersten Bedingung φ(0) = 0 scheitere, denn ich verstehe überhaupt nicht, wie diese Funktion jemals zu einem Ergebnis kommen soll, wenn sie sich selbst aufruft!

Einen Augenblick: Bin ich ein Idiot? Ist das ƒ lediglich eine Variable?

Answer 1

Du verstrickst Dich erneut, weil Du nicht genau auf die Objekte achtest.

Hier werden Abbildungen auf Abbildungen abgebildet. Die Abbildungsvorschrift lautet: Die Abbildung \(f\) wird auf die Abbildung \((1+\sqrt{5})f\) abgebildet (erkennbar an \(\mapsto\), achte auf die unterschiedlichen Pfeilsymbole).

Die Bedingung \(\varphi(0)=0\) (überlege genau, was die 0 hier ist!) ist übrigens keine Bedingung in der Def. von "Homomorphismus" (sondern eine Folgerung daraus). Wenn man nachweisen will, dass etwas in Hom. ist, braucht man das nicht zu prüfen, unnötiger Aufwand.

Wenn geprüft werden soll, ob etwas ein Hom. ist, kann man mit der Prüfung von \(\varphi(0)=0\) anfangen und manchmal leicht feststellen, dass es keiner ist.

Answer 2

Das f ist lediglich eine Variable. Der Homomorphismus ist φ. Und der ruft sich nicht selbst auf.