Welchen Wert muss a annehmen, damit das Newton-Verfahren zyklisch wird.

Question

Aufgabe 2: Newtonverfahren: Gegeben ist die Funktion

\( f(x)=x^{2}+x+1 \)

a) Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren, angewendet auf die Funktion \( f(x) \), nicht konvergiert, sondern zyklisch wird, wenn man es mit dem Wert \( x_{0}=0 \) startet.

b) Gegeben ist die Funktion

\( f(x)=3 x^{2}+x+a \)

mit \( a \neq 0 \). Welchen Wert muss der Koeffizient \( a \) annehmen, damit das Newton-Verfahren, angewendet auf die Funktion \( f(x) \), nicht konvergiert, sondern zyklisch wird wie die Funktion in Teil a), wenn man es mit dem Wert \( x_{0}=0 \) startet? Begründen Sie Ihre Antwort.

Comments

vorerst mal wieder gelöscht (was anscheinend nicht geht ohne Text).

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@döschwo Warum hast Du Teil a) gelöscht? Darauf wird hier Bezug genommen und der Bezug hängt nun in der Luft.

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ich habe das für verzichtbar gehalten.

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Wie löst man die b dann?

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Du könntest die Rückfrage bei Deiner Frage von gestern noch beantworten.

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Welche Frage bitte?

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Welche Frage bitte?

Ich kann leider nicht Deine Hand halten und mit der Maus drauf klicken.

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Es gilt doch

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{3x_n^2+x_n+a}{6x_n+1} $$

Möchte man eine Folge mit Periode m finden betrachtet man den Ansatz:

$$ x_{n+m} = x_n $$

Da setzt man die Iterationsschritte einfach ein.

Mit \( x_0 = 0 \) und \( m=2 \) liefert das z.B. dann \( a = \frac{1}{3} \)

Für \( x_0 = 0 \) und \( m=4 \) gibt es aber bspw. mehrere Lösungen.

Die Lsg \( a = \frac{1}{3} \) ist klar, aber es ist auch \( a = \frac{1}{6}(3\pm\sqrt{5}) \) möglich:

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Erstmal vielen Dank für ihre Antwort. Können Sie mir das bitte genau erläutern, kann die Lösung nicht wirklich nachvollziehen.

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Die Antwort von MatHae... bezieht sich auf einen allgemeineren zyklisch-Begriff. Hier ging es um "zyklisch" wie in a) und dort war m=2. Aus der Erinnerung, weil diese Info leider gelöscht wurde.

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Für was steht denn das m? Wie rechne ich den Wert denn aus? Nur mit den Lösungen komme ich nicht weiter.

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Für was m steht, steht in der Lösung.

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@ nudger

Du kannst eine falsche Antwort in einen Kommentar umwandeln und den dann ausblenden.

Ich mache das einfach mal.

Wenn der Text dann weiß eingefärbt ist, sieht man ihn auch nicht mehr.

:-)

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Ah, danke für den Tipp!

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Hallo

das m =2 steht für die Formel $$x_{n+m}=x_n$$

lul

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Leider weiß ich hier nicht wo ich was einsetze und dann ausrechne. Kann mir das jemand genauer erklären?

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hallo

bestimme x_1, (dann x_2= und dann x3

oder x_0 und x_2

stelle fest wann x_3=x_1

aber genau das stand doch schon da, kannst du wirklich nicht für n 0 oder 1 einsetzen und für m 2?

Du scheinst die Antworten nicht langsam und gründlich zu lesen, und dann sehr gezielt nachzufragen, dann hast du von Hilfen wenig Profit

Answer 1

Ich habe Aufgabenteil a) wieder hergestellt. Das war ein triviales zyklisches Verhalten das sich 0 und -1 einfach nur abwechseln. Wenn man das für b) annimmt, dann kommt man auf a = 1/3.

Es gilt:

n(x) = x - (3·x^2 + x + a)/(6·x + 1)

n(0) = -a

n(-a) = a·(1 - 3·a)/(6·a - 1) = 0 --> a = 1/3 ∨ a = 0

a müsste also den Wert a = 1/3 annehmen.

Comments

Für folgende Werte von a habe ich noch ein zyklisches Verhalten (Zyklen-Länge 4) gefunden

a = - √(255 - 114·√5)/6 - 5·√5/6 + 2
a = √(255 - 114·√5)/6 - 5·√5/6 + 2
a = - √(114·√5 + 255)/6 + 5·√5/6 + 2
a = √(114·√5 + 255)/6 + 5·√5/6 + 2
a = 1/2 - √5/6
a = √5/6 + 1/2