Explizite Formel von der Folge 7;8;10;13;17;22 finden

Question

Aufgabe:

explizite Formel der Folge 7;8;10;13;17;22 herausfinden

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe um eine explizite Formel zu finden.

Comments

Hier muss man sich immer klar machen: Es gibt unendlich viele explizite Formeln, die passen. Auch die in den Antworten gegebene sind nur Beispiele und keineswegs die einzige Lösung.

Answer 1

Offenbar gilt
   a₂ = a₁ + 1
   a₃ = a₂ + 2 = a₁ + 1 + 2
   a₄ = a₃ + 3 = a₁ + 1 + 2 + 3
etc. Allgemein: a_n+1 = a_n + n = a₁ + 1 + 2 + 3 +…+ n = a₁ + ½·n·(n+1).

Answer 2

Bilde die Differenzenfolgen

7; 8; 10; 13; 17; 22
1; 2; 3; 4; 5
1; 1; 1; 1

Ist die 2. Differenzenfolge konstant kann es sich um eine Funktion 2. Grades handeln.

Bild dann die explizite Vorschrift der Folge

a_n = 0.5·n² - 0.5·n + 7

Answer 3

beispielsweise https://oeis.org/A005709

Answer 4

Hallo,

mit dem Ansatz

f(x)=ax²+bx+c

f(1)=7=a+b+c

f(2)=8=4a+2b+c

f(3)=10=9a+3b+c

-------

2.-1.) 1=3a+b

3.-2.) 2=5a+b

------

Beide subtrahieren:

1=2a → a=½=0,5

Einsetzen:

1=3•½+b → b=-½

7=a+b+c → c=7

f(x)=½x²-½x+7

Zur Kontrolle für x die Zahlen 1 bis 6 einsetzen.

Z.B. f(6)=½•36-½•6+7=18-3+7=22 ✓

:-)

Answer 5

Nach langer Zeit mal wieder eine Herausforderung: weitere Lösungen zu finden, als die primitive.

(nichts für Schüler; nur für interessierte, die über den "Tellerrand schauen" wollen)

Wie nudger bereits richtig kommentierte, gibt es unendlich viele Lösungen, weil der Aufgabensteller vergessen hat, Randbedingungen sauber zu definieren. (wir leben nicht mehr im Mittelalter, sondern die theoretische Mathematik ist unendlich vielfältig)

zu "Ansatz":

a) primitive  https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation

Auf Seiten wie http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html

braucht man nur die Folge per Komma getrennt eingeben und bekommt unten das Polynom heraus:

y[i]: 7,8,10,13,17,22

ergibt bei Voreinstellung x[i]: 0,1,2,..

f(x)=7+x*1/2+pow(x,2)*1/2+pow(x,3)*0+pow(x,4)*0+pow(x,5)*0 mit pow(x,2)=x² ;pow(x,3)=x^3 usw.

Da viele jedoch bei Index 1 statt 0 beginnen und ich auch gern die Vorgänger noch wissen möchte, x[i]: 1,2,..

ergibt 7-x*1/2+pow(x,2)*1/2 =(x^2 - x)/2 + 7

b) wenn die Folge nicht mit 7,7,... beginnen soll, gibt man einfach davor eine 6 ein und bekommt bei 7 Schnittstellen ein Polynom 6. Grades: f(n)= 6 - n*(-1404 + n*(1264 + n*(-735 + n*(175 + (n - 21)*n))))/720

c) die von döschwo angegebene Folge https://oeis.org/A005709 ist jedoch wegen der vorderen Stellen:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... etwas anders, weil sie aus der rekursiven Welt kommt: a(n) = a(n-1) + a(n-7)
Diese in die gesuchte explizite Funktion zu wandeln ist für Schüler unmöglich. Die moderne Mathematik kennt jedoch hypergeometrische Funktionen:
f(n)=HypergeometricPFQ[{-(11/7)-n/7,-(10/7)-n/7,-(9/7)-n/7,-(8/7)-n/7,-1-n/7,-(6/7)-n/7,-(5/7)-n/7},{-(11/6)-n/6,-(5/3)-n/6,-(3/2)-n/6,-(4/3)-n/6,-(7/6)-n/6,-1-n/6},-(823543/46656)]

Alle 3 kann man auch (weich) plotten, um die Gleichheit an den geforderten 6 Stützstellen zu sehen (explizite Formeln erlauben ja stufenlose Übergänge statt nur ganzzahlige Argumente):


d) trigonometrische Interpolation... keine Zeit mehr...

Grüße