Rang von Kompositionen von linearen Funktionen

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum der Dimension n, und seien f und g lineare
Abbildungen von V nach V .
Beweisen Sie: Wenn f ◦ g = 0, so folgt Rg(f ) + Rg(g) ≤ n.

Problem/Ansatz:

Guten Morgen, ich beschäftige mich schon länger mit dieser Aufgabe, aber da wir fast noch nie über Kompositionen im Studium gesprochen haben, tue ich mich schwer damit.

Mein erster Lösungsansatz war:

Bild(f) = {0} und Kern(f) = Bild(g) = V

Demnach wäre Rg(f) = dim(Bild(f) = 0 und Rg(g) = dim(Bild(g) = n.

Da dim(V) = dim(Kern(g) + dim(Bild(g) muss dim(Kern(g) = 0 sein,
Also ist Kern(g) = {0}

Das würde ja aber nur dazu führen, dass Rg(f) + Rg(g) = 0 + n = n ist.

Außerdem kam ich beim Schreiben hierzu:

Bild(f) ⊆ V und Bild(g) ⊆ V.

Also ist Rg(f) ≤ dim(V) 

Also ist Rg(g) ≤ dim(V)

Da Rg(f) = 0

Ist Rg(f) + Rg(g) ≤ n

Ist das so richtig? Es ist jetzt ein bisschen unstrukturiert ich wusste nicht wie weit ich ins Detail gehen soll. Wäre über Kritik oder Verbesserungsvorschläge dankbar.

Comments

Kern(f) = Bild(g) = V

Warum sollte das (allgemein) gelten?

Überlege mal, welche Beziehung zwischen Kern(f) und Bild(g) aus der Bedingung \(f \circ g=0\) folgt.

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Stimmt. Das wäre nur ein spezieller Fall. Es sollte gelten Bild(g) ⊆ Kern(f). Ich hatte einen Denkfehler.

Vielen Dank für die Korrektur

Answer 1

Ich verstehe nicht, wieso du meinst, dass Bild(f) = {0} sein soll.

Vielmehr kannst du so schließen:

\(f\circ g=0\Rightarrow Bild(g)\subseteq Kern(f)\Rightarrow Rg(g)\leq \dim(Kern(f))\quad (*)\).

Der Dimensionssatz für \(f\) liefert:

\(\dim(Kern(f))+Rg(f)=n\quad (**)\).

\((*)\wedge (**)\Rightarrow Rg(g)+Rg(f)\leq \dim(Kern(f))+Rg(f)=n\).

Comments

ich bin davon ausgegangen, weil f(g(x) = 0. Also ist es doch egal was man in f "reinschmeißt" und es kommt immer 0 raus.

Danke für deine Antwort. Ich denke ich habe es verstanden. Irgendwie liegt mir Lineare Algebra noch nicht so. Aber ich denke das wird bald.

Danke

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Also ist es doch egal was man in f "reinschmeißt" und es kommt immer 0 raus.

Nein. Da steht nur, dass wenn man Bilder unter g "reinschmeißt",

dass dann immer 0 rauskommt.

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Achso. Danke für die Klarstellung