welchen Grad hat eine zu berechnende Funktion?

Question

Aufgabe:

Berechnung einer Funktion

Problem/Ansatz:

welchen Grad hat eine zu berechnende Funktion ?

gegeben sind:

1.) Tiefpunkt bei (0|1159,2)

2.) Hochpunkt bei (2,8|13452,32)

3.) Tiefpunkt bei (5,6|1159,2)

Hallo liebe Mathefreunde,

vielen Dank im voraus für Eure Mühe.

mit freundlichen Grüßen

Martin Hümer, Gemeinde Wesertal

Comments

Hallo Martin,

die Funktion $$f(x)=200x^{4}-2240x^{3}+6272x^{2}+1159.2$$ist eine Polynom vierten Grades.

Gruß Werner

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Hallo Werner,

vielen, vielen Dank.

Was ist der didaktische Hintergedanke?
Kommentiert vor 2 Tagen von ggT22

Darf ich Dich noch um eine weitere Berechnung bitten ?

und zwar f(x) einmal wie folgt zerlegen:

200x⁴ : 3x =

-2240x³ : 2x =

6272x² : (1)x =

(und NUR der LOGIK wegen 0x¹ : (0 !)x )

wenn ich als Laie ! richtig liege, müsste dieses eine kubische Funktion ergeben mit dem Sattelpunkt an der Extremstelle 5,6 !

Vielen Dank

Gruß

Martin Hümer

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Darf ich Dich noch um eine weitere Berechnung bitten ?
und zwar f(x) einmal wie folgt zerlegen:
200x4 : 3x =
-2240x³ : 2x =
6272x² : (1)x =

das ist nun wirklich kein Problem (das kannst Du doch selber - oder?). Ich nenne das Ergebnis mal \(g(x)\): $$g(x)=\frac{200}{3}x^{3}-1120x^{2}+6272x$$

(und NUR der LOGIK wegen 0x¹ : (0 !)x )

das wird schwierig. Aber in \(f\) existiert ja gar kein Term mit \(x^1\).

... müsste dieses eine kubische Funktion ergeben mit dem Sattelpunkt an der Extremstelle 5,6 !

genau so ist das:

Die rote Kurve ist der Graph von \(g\). Erste und zweite Ableitung von \(g\) an der Stelle \(x=5,6\) sind \(=0\) und damit liegt dort ein Sattelpunkt vor.

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Hallo Werner-Salomon,

vielen, vielen Dank.

Problem: Ich kann zwar mit geogebra jetzt Funktionen zeichnen lassen, aber wenn ich eine Zeichnung abspeichere, kann ich diese nicht mehr ergänzen. Außerdem werden mir - wenn ich über die Funktion "fahre" - keine Werte angezeigt. Da habe ich von geogebra leider nicht so viel Ahnung.

Außerdem habe ich Angst, einmal einen Fehler zu machen und mich zu blamieren. Deshalb ist mir eine / Deine Bestätigung der korrekten Berechnung sehr wichtig.

1.) In meiner allerersten Meldung vom 31.12.2022 ging es um die 3 Tangenten, die addiert die Wendetangente ergibt. Diese kubische Funktion ergab / ergibt sich durch Integration einer quadratischen Funktion.

2.) In meiner Meldung vom Februar 2023 ging es um eine quartische Funktion, in welcher eine Gerade gleichzeitig Sekante und Tangente ist. (ich habe danach nur noch eine kleine Veränderung im linearen Glied vorgenommen).

ALLE diese Funktionen und noch mehr werden NUR durch 3 Stützstellen plus einer Konstanten berechnet.

Jetzt hattest Du mir zwar damals einmal mitgeteilt, dass man vieles berechnen kann. ABER. gibt es z.B. hier zwischen den beiden oben gezeichneten Funktionen - außer im Punkt 5,6 - eine Verbindung ?

und zwar deswegen wie folgt:

quadratische Funktion 200x² - 2240x + 6272

integriert zu Stammfunktion 200/3x³ - 1120x² + 6272

(also die jeweiligen Parameter MULTIPLIZIERT mit 1/3x, 1/2x, 1/1x)

und dann in obiger Zeichnung mit eben dieser kubische Stammfunktion weiter gerechnet: GETEILT duch 3x, 2x, 1x

Ich wünsche Dir eine gute Nacht.

Martin Hümer

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Außerdem habe ich Angst, einmal einen Fehler zu machen und mich zu blamieren.

brauchst Du nicht! Jeder macht Fehler und Du bist ja derjenige, der fragt!

... gibt es z.B. hier zwischen den beiden oben gezeichneten Funktionen - außer im Punkt 5,6 - eine Verbindung ?

Na ja - es sind beides Polynome - aber das ist nicht das, was Du wissen wolltest.

Das was Du da macht, also die Division der einzelnen Summanden \(a_kx^k\) durch \((k-1)x\), nennt man in der Mathematik eine 'Abbildung'. D.h. eine Funktion \(f\) (von einem bestimmten Typ) wird durch einen bestimmten Algorithmus auf eine andere Funktion \(g\) abgebildet.

\(f\) ist vom Typ 'Polynom' 4.Grades, wobei \(a_1=0\) ist. Das erspart uns die Division durch \(0\) - diesen Summanden lassen wir einfach weg. Ist $$f(x)= a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_0$$dann ist \(g\) sammt der ersten Ableitung$$g(x)= \frac{a_4}{3}x^3 + \frac{a_3}{2}x^2 + a_2x \\ g'(x) = a_4x^2 + a_3x + a_2$$Nun kann man auch \(f\) auf Hoch- und Tiefpunkte untersuchen, indem man ableitet und die Ableitung zu \(0\) setzt. Aber vorher wandele ich \(f\) noch um und wende die Produktregel an:$$f(x)= (a_4x^2+a_3x+a_2)x^2 + a_0 \\ f'(x)= (a_4x^2+a_3x+a_2)'x^2 + 2x(a_4x^2+a_3x+a_2)$$Wenn man das mit der Ableitung von \(g\) vergleicht, so steht dort:$$f'(x)= g''(x)\cdot x^2 + 2x \cdot g'(x)$$D.h. \(f'(x)\) wird auch dann immer zu \(0\), wenn \(g'(x)\) und \(g''(x)\) zu \(0\) werden. Und dies ist ja genau die notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt. Daraus folgt:

Hat \(g\) an der Stelle \(x_s\) einen Sattelpunkt, so ist \(f'(x_s)\) die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_s\) gleich \(0\). Das kann dann ein Hoch- oder Tiefpunkt oder eben wiederum ein Sattelpunkt sein.

Achtung: umgekehrt gilt das nicht! \(f'(x)\) hat immer bei \(x=0\) eine Steigung von \(0\) und kann auch \(0\) annehmen , wenn sich die beiden Summanden gegenseitig aufheben, Und dann ist weder \(g'(x)\) noch \(g''(x)\) identisch zu \(0\).

Ach ja - und damit \(g\) einen Sattelpunkt hat, muss \(g(x)\) immer wie folgt aussehen:$$g(x)= \frac{a_4}{3}(x-x_s)^3 + y_s$$Wobei \((x_s,\,y_s)\) die Koordinate des Sattelpunktes ist. Im konkreten Fall hier ist$$g(x)= \frac{200}{3}(x-5,6)^3 + \frac{175616}{15}$$Gruß Werner

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Hallo Werner,

vielen, vielen Dank.

Ich habe einmal versucht, die Zahl 175616 (der Zähler des zweiten Terms von g(x)) etwas anders zu schreiben.

Es ist:

5,6³ * 200 * (15 geteilt durch 3) !!! (alle Zahlen sind wieder in g(x) enthalten, aber wahrscheinlich ist das auch wieder nur "normal")

Tschüß

Martin Hümer

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5,6³ * 200 * (15 geteilt durch 3) !!! (alle Zahlen sind wieder in g(x) enthalten, aber wahrscheinlich ist das auch wieder nur "normal")

das ist nicht nur normal, sondern das muss auch so sein! Es liegt daran, dass wir den Summanden mit \(a_1\) weg gelassen haben. Folglich hat \(g(x)\) keinen Summanden mit \(x^0\):$$g(x)= \frac{a_4}{3}x^3 + \frac{a_3}{2}x^2 + a_2x {\color{grey}+\text{nix}}$$und \(g(x)\) ist in Deinem Fall:$$\begin{aligned} g(x) &= \frac{200}{3}(x-5,6)^3 + \frac{175616}{15} \\ &= \frac{200}{3}(x-5,6)^3 + \frac{200}{3} \cdot \frac{175616}{1000} \\ &= \frac{200}{3}\left( x^3 - 3 \cdot 5,6x^2 + 3\cdot 5,6^2x\underbrace{ - 5,6^3 + \frac{56^3}{10^3}}_{=0}\right) \end{aligned}$$... nach der Abbildungsvorschrift (s.o.) sollte der Summand ohne \(x\) gleich \(0\) sein.

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Hallo Werner,

vielen, vielen Dank.

Ich möchte Dir gerne eine BESTE ANTWORT geben, sehe aber NUR 2 gelbe Buttons und viele weitere Antworter wie MontyPython, abakus, ggT22 und Gast hj2166.

WO ? muss ich denn für Dich klicken ?

Tschüß

Martin

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Werner hat deine Frage nur kommentiert, nicht beantwortet. Er könnte seinen Kommentar in eine Antwort umwandeln, aber schnöde Punkte sind ihm ziemlich brause.

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Hallo Martin,

Silvia hat es schon geschrieben. 'Beste Antwort' geht nur bei Antworten, nicht bei Kommentaren. Und 'Antworten' sind nur die, wo es drüber steht (s.u.).

Aber ich freue mich natürlich über Dein Feedback. Das passt schon!

Gruß Werner

Answer 1

Hallo,

das ist eine Funktion vierten Grades.

:-)

Comments

Das ist sicher die gewolltes Antwort. Es gibt aber auch Funktionen höheren Grades mit den gleichen Eigenschaften.

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Hallo MontyPython, hallo abakus,

ja, Funktion vom Grad 4 ist die richtige Antwort.

Vielen Dank.

Answer 2

Du hast 6 Infos:

f(0) = 1159,2

f '(0) = 0

f(2,8)= 13452,32

f '(2,8) = 0

f(5,6) = 1159,2

f '(5,6) = 0

Die Funktion ist achsensymmetrisch zu x= 2,8

Damit scheidet ax^5+bx^4+cx^3+bx^2+cx+d aus.

Alle ungeraden Potenzen fallen raus.

Möglich müsste sein:

ax^12+bx^10+cx^8+dx^6+cx^4+dx^2+e ,

wenn ich mich nicht irre.

3.) Tiefpunkt bei (5,6|1159,2)

Comments

Die Funktion ist achsensymmetrisch zu x= 2,8

Dein Ansatz mit nur geraden Exponenten müsste dann lauten
f(x) = a·(x-2,8)^4 + b·(x-2,8)^2 + c

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Danke. Und wie sieht es bei höheren Potenzen aus?

Diesen Fall hier sehe ich zum ersten Mal:

Was ist der didaktische Hintergedanke?

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Was ist der didaktische Hintergedanke?

Vielleicht der, zu erkennen, dass hier eine zur y-Achse symmetrische Funktion g (bzw. ihr Graph) um 2,8 Einheiten in positive x-Richtung verschoben wurde wodurch sich f(x) = g(x-2,8) ergibt. Alles andere kann nur der Aufgabensteller beantworten.

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Auch dafür Dankeschön.

Um wie ist das mit den Funktionen mit höheren, geraden Potenzen?

Liege ich richtig mit x^12 usw..?

Ginge das beliebig hoch weiter? Oder gibt es Grenzen nach oben?

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Um wie ist das mit den Funktionen mit höheren, geraden Potenzen?

Da ich die Frage nicht so recht verstehe, ist meine beste Antwort "Das ist ganz analog."

Oder gibt es Grenzen nach oben?

Es gibt Polynomfunktionen beliebig hohen Grades und die Regel über das Vorkommen gerader/ungerader Potenzen bei Vorliegen gewisser Symmetrien gilt auch dort.

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Alles klar.

Ich wünsche Ihnen einen schönen Herbsttag.