Entwickeln der Taylorreihe um 0

Question

Aufgabe:

Entwickeln der Taylorreihe f(z) = \( \frac{z}{(1-z)^{3}} \) um z₀ = 0

Problem/Ansatz:

Habe die ersten 4 Ableitungen berechnet, sehe aber nicht ganz, wie ich daraus eine Taylorreihe entwickeln kann.

Ich wäre sehr dankbar über einen Rechenweg zur Entwicklung.

Edit: Ahh ich sehe, dass ich das n! aus der definition der Taylorreihe mit einbeziehen kann.

Dann komme ich auf \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2}*(n(n+1))*z^n} \)

Comments

vgl:

https://matheguru.com/analysis/taylorreihe.html

Answer 1

Deine Taylor-Reihe ist richtig. Ich verifiziere sie aber
nicht mithilfe der Definition, sondern durch Anwendung gewisser
Sätze über Potenzreihen.

Für die geometrische Reihe gilt
\(g(z)=(1-z)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n.\)
Es ist daher \(g'(z)=(1-z)^{-2}\), andererseits liefert die gliedweise
Ableitung der Potenzreihe \(g'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}\).
Entsprechend ergibt sich auf zweierlei Weise
\(g''(z)=2(1-z)^{-3}=\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)nz^{n-1}\),

also

\(z(1-z)^{-3}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}(n+1)nz^n\)

Answer 2

Wir bilden ein paar Ableitungen und suchen nach einer allgemeinen Formel

f(z) = z/(1 - z)^3 = 1!·(z + 0)/(1 - z)^3
f'(z) = (2·z + 1)/(1 - z)^4 = 2!·(z + 0.5)/(1 - z)^4
f''(z) = (6·z + 6)/(1 - z)^5 = 3!·(z + 1)/(1 - z)^5
f'''(z) = (24·z + 36)/(1 - z)^6 = 4!·(z + 1.5)/(1 - z)^6
f''''(z) = (120·z + 240)/(1 - z)^7 = 5!·(z + 2)/(1 - z)^7

f⁽ⁿ⁾(z) = (n + 1)!·(z + n/2)/(1 - z)^{3 + n}
f⁽ⁿ⁾(0) = (n + 1)!·n/2

Damit kommst du jetzt auf

T(z) = ∑ (n = 0 bis ∞) (1/2·n·(n + 1)·z^n)