Hallo,
Willkommen in der Mathelounge.
So ein LGS hat genau dann unendlich viele Lösungen, wenn beide Gleichungen dasselbe aussagen. Dazu multipliziere ich die obere Gleichung mit \(7\). Mit \(7\) deshalb, weil dann bereits der Koeffizient vor dem \(x\) bei beiden Gleichungen identisch ist. Das ändert an dem LGS zunächst mal gar nichts:$$\begin{aligned} 7ax - 7(a+1)x &= 6 \cdot 7 \\ 7ax - 7 \cdot 4 &= 6(a+4)\end{aligned}$$Wenn nun \(a+1=4\) UND \(a+4=7\) ist, dann steht oben und unten dasselbe.
Dämmerts?
Der allgemeine Weg besteht darin, zunächst die Determinante der linken Seite auf zu stellen und diese =0 zu setzen:$$\det\left|\begin{pmatrix} a& -(a+1)\\ 7a& -28\end{pmatrix}\right| = 0 \\ \implies -28a + 7a(a+1) = 0 \implies a_1=0, \quad a_2 =3$$und anschließend setzt man die Lösung ein und überprüft, ob die eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist. Für \(a_1=0\) ist dies nicht der Fall, für \(a_2=3\) aber schon.
Gruß Werner
