Polynomdivision mit Parameter

Question

Aufgabe:

die Aufgabe ist, an der Polynomfunktion f(x)=x^4-a Polynomdivision mit der Nullstellen x=3 durchzuführen und am Ende zu beweisen, dass die Division mit a=81 restlos aufgeht.

Wie ich vorgehen muss weiß ich, da ich die anderen Aufgaben bereits gerechnet habe, aber bei der komme ich nicht aufs richtige Ergebnis. Vielleicht kann mir jemand seine Rechnung zeigen.

Vielen Dank!

Answer 1

(x^4-a):(x-3)=x^3+3x^2-9x-27

-(x^4-3x^3)

-------------

   3x^3-a

 -(3x^3+9x^2)

   -------------

          -9x^2-a

         -(-9x^2+27x)

           -------------

                   -27x-a

                 -(-27x+81)

                 -------------

                        -81-a

Mit a=81 geht die Division restlos auf.

Comments

-81-a

Mit a=81 geht die Division restlos auf.

mit a=81 wäre der Rest -162.

Du hast zwischendrin einen Vorzeichenfehler.

Answer 2

Betrachte den Rest der Polynomdivision \((x^4-a)\,:\,(x-3)\). Dieser Rest, der ja den Linearfaktor \((x-3)\) nicht mehr enthält, muss null sein, damit \(x=3\) eine Nullstelle des Polynoms ist. Das ist eigentlich schon alles.

Comments

Ja, aber ich komme nicht auf das richtige a am Ende. Hab mit (x^4-x^3-x^2-x-a):(x-3) gerechnet aber beim Umstellen nach a kommt nicht 81 raus.

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Was hast du denn raus und wie sieht dein Rest aus?

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42-a habe ich als Rest; also a=42

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Dann hast du dich verrechnet.

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Hab mit (x^4-x^3-x^2-x-a):(x-3) gerechnet

Das ist falsch.

Richtig wäre

(x^4+0•x^3+0•x^2+0•x-a):(x-3)

:-)

Answer 3

"drücken" wir uns um die Polynomdivision?

x^4-81 =

erzeuge x^4 mit dem Faktor (x-3)

= (x-3) x^3   | = x^4 - 3 x^3

addiere 3 x^3

= (x-3) x^3 + 3 (x-3)x^2  | = x^4 - 9 x^2

addiere 9 x^2

x^4-81 = (x-3) x^3 + 3 (x-3)x^2 + 9(x-3) x | = x^4-27 x

addiere 27x

x^4-81 = (x-3) x^3 + 3 (x-3)x^2 + 9(x-3) x +27(x-3)  | = x^4-81

x^4-81 = (x-3) (x^3 + 3 x^2 + 9 x +27)

Comments

Aber bin gezwungen die Polynomdivision zu machen. Ist es denn richtig das Polynom auf x^4-x^3-x^2-x-a zu erweitern?

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"drücken" wir uns um die Polynomdivision?

Ich habe $$x^4-a)\,:\,(x-3) = \dots$$ausgerechnet, ich bin also nicht mit dem Ergebnis angefangen!

Answer 4

Vorweg:

Um das restlose Aufgehen mit a=81 zu beweisen, brauchst du keine Polynomdivision.

a^4-81 ist nach zweimaliger Anwendung der dritten binomischen Formel

(a^2-9)(a^2+9) =(a-3)(a+3)(a^2+9)

Die Durchführung der Polynomdivision liefert \(x^3+3x^2+9x+27+\frac{81-a}{x-3}\) und für a=81 wird der letzte Bruch gleich 0.