Ist die folgende Funktion surjektiv?

Question

\( \begin{array}{c}h: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{1\} \quad h(x)=2|x|-\frac{1}{2} \\ g: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\} \quad g(n)=n^{3}-1\end{array} \)

Könnte mir jemand bei der Funktion g helfen. Die Injektivität habe ich schon bewiesen nur happerts grade am Beweis der Surjektivität. Müsste ja surjektiv sein wenn ich mir den Graphen aufzeichne. Bitte um Hilfe.

Besten Dank.

Answer 1

Aloha :)

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.

zu 1) Wegen \(h(x)=2|x|-\frac12\ge-\frac12\) wird z.B. das Element \((-1)\) aus der Zielmenge \(\mathbb R\setminus\{1\}\) nicht getroffen. Daher ist \(h(x)\) nicht surjektiv.

zu 2) Die Funktion \(g(x)=x^3-1\) ist stetig und divergiert für \((x\to\pm\infty)\) gegen \((\pm\infty)\). Nach dem Zwischenwertsatz wird daher jede reelle Zahl als Ziel getroffen. Allerdings ist bei der Definitionsmenge \(\mathbb R\setminus\{1\}\) die \(1\) als Argument ausgeschlossen. Der Funktionswert \(g(1)=0\) wird also nicht getroffen. Da aber dieser Zielwert \(0\) aus der Zielmenge \(\mathbb R\setminus\{0\}\) ausgeschlossen ist, wird tatsächlich jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen. Die Funktion \(g\) ist also surjektiv.

Comments

Danke für die Erklärung. Ist zu 2) auch möglich ohne Zwischenwertsatz zu erklären. Der steht zwar im Skript dürfen wir aber noch nicht verwenden.

Grüße

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Warum nimmst du x^3 statt n^3?

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@ggT22:

Weil die Definitionsmenge kontinuierlich ist und dafür der Variablenname \(n\) völlig untypisich ist. Ich muss ja nicht den Unsinn des Aufgabenstellers übernehmen.

@shammelm:

Ja, du kannst auch ohne Zwischenwertsatz argumentieren.

Dazu wählst du ein beliebiges \(y\in\mathbb R\setminus\{0\}\) aus der Zielmenge und ermittelst dazu ein Argument \(x\in\mathbb R\setminus\{1\}\) aus der Definitionsmenge, das dieses \(y\) trifft.

$$y=x^3-1\Longleftrightarrow x^3=y+1$$

1. Fall: \(y+1\ge0\): Wähle \(x=\sqrt[3]{y+1}\).

Da \(y\ne0\) ist, wird das Argument \(x=1\) nicht benötigt.

2. Fall \(y+1<0\): Wähle \(x=-\sqrt[3]{y+1}\).

Für jedes \(y\) aus der Zielmenge gibt es also ein Argument \(x\) aus der Definitionsmenge, das dieses \(y\) trifft.

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Super. Besten Dank.!

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Weil die Definitionsmenge kontinuierlich ist und dafür der Variablenname \(n\) völlig untypisich ist.

Eine Falle?

Natürliche Zahlen sind auch zugleich reelle Zahlen.

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Keine Falle, da steht als Definitonsmenge doch klar: \(\mathbb R\setminus\{1\}\).

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Muss ich bei der Umkehrfunktion auch 2 Fälle angeben ?

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Streng genommen sind Wurzeln nur für nicht-negative Argumente defniert, daher musst du bei der Angabe der Umkehrfunktion unterschieden:$$x=\left\{\begin{array}{rl}\sqrt[3]{y+1} &\text{für }y\ge-1\\-\sqrt[3]{|y+1|} & \text{für }y<1\end{array}\right.$$

Answer 2

Hallo

du muss nur Zeigen, dass es zu jedem r∈ℝ/0 ein n gibt mit n^3-1=r

also dass \(n= \sqrt[3]{r+1} \) existiert für n∈ℝ/1

lul

Comments

Und die existiert ja weil bei der dritten Wurzel ja auch negative Zahlen unter der Wurzel stehen dürfen oder ?
Reicht das als Beweis für die Surjektivität?

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n stammt aus N. Die Wurzel wird nicht negativ.

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n stammt automatisch aus N obwohl das nicht definiert ist ?

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n ist doch als natürliche Zahl auch eine reelle Zahl.

Mich irritiert das. Es werden doch nicht auf ganz R abgebildet, sondern nur

die kleinste Teilmenge davon.

Oder verstehe ich das falsch?

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Kann euch beiden leider gar nicht folgen. Was wäre wenn statt n ein x da stehen würde?.