Gleichungssystem geschickt lösen

Question

Aufgabe:

1/x + 1/y = 5/4

x^2 + y^2 = 17

Problem/Ansatz:

Das stammt von einem Übungsblatt wo die Aufgaben mit einem Kniff eigentlich in ein paar Zeilen zu lösen sind, allerdings komm ich nicht drauf. (Umstellen/Addieren/Subtrahieren//Dividieren/Multiplizieren/Substitution?)

Answer 1

17 = 16+1 = 16+1^2

-> x= 4, y= 1

1/4+ 1/1 = 1/4+ 4/4 = 1

Comments

Bei deinem "Kniff" sind dir drei der vier möglichen Lösungen abhanden gekommen.

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Die aufwändigeren dürfen Sie gerne ergänzen.

Ich habe nicht weiter nachgedacht.

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Was ist denn hier nun der 'Kniff'? ... und was ist mit $$x_{1,2} = \frac{-17 \pm \sqrt{561}}{10}$$???

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Bitte vorrechnen.

https://www.wolframalpha.com/input?i=1%2Fx+%2B+1%2Fy+%3D+5%2F4%2C++x2+%2B+y2+%3D+17+

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Bitte vorrechnen.

Na ja, \(x=4\) und \(y=1\) kann man 'finden'. Und da man hier \(x\) und \(y\) vertauschen kann ohne das GS zu verändern, ist natürlich auch \(x=1\) und \(y=4\) eine Lösung. Dann löst man die erste Gleichung nach \(y\) auf:$$y= \frac{1}{\frac{5}{4} -\frac{1}{x}}$$setzt das in die zweite ein und multipliziert solange mit Hauptnennern, bis keine Brüche mehr da stehen:$$(x^2-17)(5x-4)^2 + 16x^2=0$$und die Lösungen sind die Nullstellen eines Polynoms 4.Ordung, von denen ja schon zwei bekannt sind. Also divdiere durch \((x-1)\) und \((x-4)\) und erhalte:$$25x^2+85x-68=0$$usw.

Das beanwortet aber in keiner Weise die Frage nach dem 'Kniff'!

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Multipliziere die erste Gleichung mit 8/5·xy und erhalte 8/5·(x+y) = 2xy.
Addiere das zur zweiten und erhalte x^2 + 2xy + y^2 = 8/5·(x+y) + 17.
Substizuiere z=x+y und erhalte z^2 - 8/5z - 17 = 0, das liefert x+y. (Zwei Lösungen)
Aus der ersten Gleichung hat man dann auch x·y.
Summe und Produkt liefern mit Vieta eine quadratische Gleichung für x und y.

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Wielange haben Sie dafür gebraucht?

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1 min für die Idee, 5 min fürs Ausrechnen, 5 min fürs Eintippen

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@ggt

Bitte vorrechnen.

Das ist wohl eher die Aufgabe des dekorierten Antwortgebers.

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1 min für die Idee, 5 min fürs Ausrechnen, 5 min fürs Eintippen

Das aber vermutlich nur, wenn man großzügig aufrundet.

Answer 2

1. Möglichkeit:

Gleichung 1 mit 4xy multiplizieren und zu Gl. 2 addieren; das ergibt 2 Quadriken; diese haben max. 4 Schnittpunkte, und wie man diese findet (algebraisch, nicht analytisch!!) war bis vor etwa 80 oder 100 Jahren noch Standardwissen in jedem Kindergarten.

2. Möglichkeit

Gleichung 1 mit 4xy multiplizieren, dann nach 2xy auflösen; diese Gleichung zur zweiten addieren und subtrahieren ergibt die erste und zweite binom. Formel. Wie man solche Gleichungsysteme löst, wussten schon die Griechen vor 2000 Jahren und war auch bis vor etwa 80 oder 100 Jahren Standardwissen in jedem Kindergarten.

(3) Dass solches Wissen heute nicht mehr vorhanden ist, zeigt nur, wie degeneriert das Bildungssystem ist, und wie bescheuert Schüler und Studenten heute geworden sind, die den ganzen Tag lieber Proleten-Abschaum-Unterschichtenfernsehen glotzen und ihr Hirn an das Handy, den Taschenrechner, oder Wolfram-Alpha ausgliedern, anstatt selbstständig zu denken.

Also hört bitte auf, das große Sabbern wegen "Gast hj2166" zu bekommen, das ist wahrlich keine Meisterleisung von ihm.

Comments

3. Möglichkeit:

Gleichung 1 mit xy multiplizieren, nach x+y auflösen, von Gleichung 2 abziehen.

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3. Möglichkeit:

Gleichung 1 mit xy multiplizieren, nach x+y auflösen, quadrieren, von Gleichung 2 abziehen.

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4. Möglichkeit:

Gleichung 1 nach xy auflösen; dann die vielen Gleichungen nutzen, die sich aus der korrespondierenden Addition ergeben. Auch das war bis vor etwa 80 oder 100 Jahren Standardwissen in jedem Kindergarten, bevor die totale Verblödung angeblich "mündiger Bürger" einsetzte.

5. Möglichkeit:

Man löst Gleichung 1 nach x oder y auf und setzt sie in Gleichung 2 ein. Dies führt auf eine Gleichung 4. Grades, die sich jedoch recht leicht auf eine Gleichung 2. Grades reduzieren lässt (d. h. durch echtes Rechnen und nicht durch Raten, was immer mehr Personen für gültige Mathematik halten).

6. Möglichkeit

Die Symmetrie beider Gleichungen ausnutzen, das vereinfacht sehr vieles.

(Und "Gast hj2166" hat hier wirklich keine Meisterleisung abgeliefert.)