Finde die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen.

Question

Aufgabe:

Finde die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen.

$$1-|x+2|\leq |2x-1|\\|3-|x+4||<2$$

Die Lösungsmengen sollen dabei als Vereinigung von Intervallen angegeben werden.

Problem/Ansatz:

Ich habe für die erste Ungleichung $$[\frac{4}{3};{\infty})$$ raus. Ist das richtig? Bei der zweiten Ungleichung habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll wegen des Betrags im Betrag. Kann wer bitte helfen?

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input?i=1-%7Cx%2B2%7C+%3C%3D%7C2x-1%7C

2. Löse zuerst den inneren Betrag auf

1. x >=-4

|3-x-4| <2

|-x-1| < 2

2 Unterfälle:

a) x <=-1

b) x>-1

2. x< 4

a) ...

b) ...

Answer 2

1 - |x + 2| ≤ |2·x - 1|

Bilde die Nullstellen der Betragsfunktionen und mache danach die Fallunterscheidung

x + 2 = 0 → x = - 2
2·x - 1 = 0 → x = 1/2

Fall 1: x ≤ - 2

1 + (x + 2) ≤ - (2·x - 1)
x ≤ - 2/3 --> x ≤ - 2

Fall 2: -2 ≤ x ≤ 1/2

1 - (x + 2) ≤ - (2·x - 1)
x ≤ 2 → -2 ≤ x ≤ 1/2

Fall 3: x ≥ 1/2

1 - (x + 2) ≤ (2·x - 1)
x ≥ 0 → x ≥ 1/2

Lösung

x = (- ∞ ; ∞)

Comments

Sollte es bei Fall 1 nicht lauten: x< -2 und bei Fall 2: -2 <=x< 1/2 ?

Und bei der Lösung: x ∈ (-oo, oo) = x ∈R

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Fast immer wird die Fallunterscheidung so gewählt, dass die Fälle der Nullstellen nur in einem Fall drin sind.

Ich handhabe das hier allerdings selber etwas anders, da die Gleichungen im Gegensatz zu Verteilungsfunktionen und Dichtefunktionen hier eben tatsächlich, da |0| = - |0|, auf beide Fälle zutreffen und daher meiner Meinung nach auch in beiden Fällen mit berücksichtigt werden können. Gibt es einen Grund dies nicht zu tun?

x ∈ R habe ich nicht geschrieben, weil dies keine Intervallschreibweise ist, die hier gefordert war. Hätte ich allerdings der Klarheit machen können.

Dass (-∞ ; ∞) = R gilt, darf man meiner Meinung nach wissen auch ohne dass ich das explizit dazu schreibe.

Manche schreiben ja ein Ergebnis auch als Dezimalzahl oder auch als Bruch nach Belieben. Solange keine feste Form verlangt ist darf man das auch tun und muss nicht immer alle möglichen Formen angeben.

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Mir war vor allem wichtig, das falsche Intervall als Lösung des Fragestellers zu korrigieren.