Aloha :)
Die kritischen Punkte der Funktion$$f(x;y;z)=x^3+y^3+z^3-x-y-z$$sind die Nullstellen des Gradienten:$$\vec 0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y;z)=\begin{pmatrix}3x^2-1\\3y^2-1\\3z^2-1\end{pmatrix}\implies x=\pm\sqrt{\frac13}\;;\;y=\pm\sqrt{\frac13}\;;\;z=\pm\sqrt{\frac13}$$Die Funktion hat also 8 kritische Punkte: \(\left(\pm\sqrt{\frac13}\bigg|\pm\sqrt{\frac13}\bigg|\pm\sqrt{\frac13}\right)\)
Zur Prüfung dieser Kandidaten auf Extrema bestimmen wir die Hesse-Matrix$$H(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{grad}f(x;y;z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{grad}f(x;y;z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\operatorname{grad}f(x;y;z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6x & 0 & 0\\0 & 6y & 0\\0 & 0 & 6z\end{pmatrix}$$und stellen zu unserem Vergnügen fest, dass sie Diagonalgestalt hat. Das bedeutet nämlich, dass ihre Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen stehen.
Wir finden daher ein Minimum bei:\(\quad\text{Min}\left(\sqrt{\frac13}\bigg|\sqrt{\frac13}\bigg|\sqrt{\frac13}\right)\)
weil dafür alle Eigenwerte der Hesse-Matrix positiv sind.
Und wir finden ein Maximum bei:\(\quad\text{Max}\left(-\sqrt{\frac13}\bigg|-\sqrt{\frac13}\bigg|-\sqrt{\frac13}\right)\)
weil dafür alle Eigenwerte der Hesse-Matrix negativ sind sind.
Bei den anderen 6 Kandidaten haben die Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Hesse-Matrix indefinit ist und es sich um Sattelpunkte handelt.
