Zeigen Sie, dass für zwei Punkte v, w ∈ ℝ^{n} die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

Question

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass für zwei Punkte \( v, w \in \mathbb{R}^{n} \) die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
(i) \( v \neq 0 \), und es gibt kein \( \varrho \in \mathbb{R} \) mit \( w=\varrho \cdot v \).
(ii) Sind \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \) mit \( \lambda v+\mu w=0 \), so folgt notwendigerweise \( \lambda=\mu=0 \).

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Ich brauche Hilfe

Answer 1

(i) ==> (ii):

Es gilt also (i) und es sind \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)mit \( \lambda v+\mu w=0 \).

==>  \( \mu w= -\lambda v \)    #

Angenommen es wäre   \( \mu \ne 0 \), dann hätte man \( w= -\frac{\lambda}{\mu} v \)

im Widerspruch zur Vor. Also gilt jedenfalls   \( \mu = 0 \).

Dann wird # zu \( 0 = -\lambda v \) , also der Nullvektor ein Vielfaches von v.

Da aber v nach Vor. nicht 0 ist, folgt \( 0 = \lambda \), also hat man \( \lambda=\mu=0 \).

(ii) ==> (i). Es gilt also (ii). Angenommen es gilt \( v \neq 0 \) und es gäbe

 \( \varrho \in \mathbb{R} \) mit \( w=\varrho \cdot v \). Dann hätte man \( \varrho \cdot v - w = 0\)

bzw .        \( \varrho \cdot v - 1 \cdot w = 0\) also nach Vor. \( \varrho=-1=0 \).

Widerspruch!

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DANKE DANKE DANKE