Aloha :)
Ziel des Unternehmens ist es, ein festes Fertigungsniveau zu erreichen:$$F(x;y)=9x^2+73xy+9y^2\stackrel!=3812$$Dabei sollen die anfallenden Kosten möglichst minimiert werden:$$K(x;y)=77\cdot x+93\cdot y\stackrel!\to\text{Minimum}$$Nach Lagrange ist eine notwendige Bedinung für ein Minimum, dass der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen ist. Da es hier nur eine konstante Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}K(x;y)\stackrel!=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(x;y)\implies\binom{77}{93}=\lambda\cdot\binom{18x+73y}{73x+18y}$$Der sogenannte Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) darf nicht Null sein, weil man sonst die Nebenbedingung ignorieren würde. [Dass der Gradient gleich Null sein muss ist eine notwendige Bedinung für Extrema ohne Nebenbedingung.]
Wir dividieren die erste Koordinaten-Gleichung durch die zweite:$$\small\frac{77}{93}=\frac{\lambda\cdot(18x+73y)}{\lambda\cdot(73x+18y)}=\frac{18x+73y}{73x+18y}\implies 77\cdot(73x+18y)=93\cdot(18x+73y)\implies$$$$\small5621x+1386y=1674x+6789y\implies3947x=5403y\implies\pink{y=\frac{3947}{5403}\,x\approx0,73052\,x}$$
Wir setzen die pinke Lagrange-Bedinung in die Nebenbedingung \(F\) ein und erhalten:$$3812=9x^2+73x\cdot\pink{0,73052\,x}+9\cdot\left(\pink{0,73052\,x}\right)^2\approx67,1309\,x^2\implies x\approx7,53555$$Das setzen wir in die Lagrange-Bedingung ein:$$y=\pink{0,73052}\cdot7,53555\approx5,50487$$
Wir finden das Minimum bei \((x|y)=(7,53555|5,50487)\).
Die minimalen Kosten sind daher \(K_{\text{min}}=1092,19\,\mathrm{GE}\).
