Geraden mit Paramater

Question

Aufgabe:

Für jedes α ∈ ℝ sei die Menge L_α ∈ ℝ² als Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichung gegeben:

x₁ + 2x₂ = α(3x₁ − x₂ − 7)

Zeigen Sie, dass es einen Punkt im ℝ² gibt, der für alle α ∈ ℝ auf der Geraden L_α liegt.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Gleichung bereits umgestellt zu:

(1-3α)x₁ + (2+α)x₂ = -7α

Mir ist auch klar, dass das Ergebnis unabhängig von α sein muss.

Doch wie genau muss ich hier vorgehen?

Ich wäre für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Wenn es einen solchen Punkt gibt, liegt es insbesondere für

a=0 und für a=1 auf der Geraden.

Diese beiden schneiden sich bei (2;-1  ) und in der Tat, wenn man

(2;-1) einsetzt hat man

x1 + 2x2 = α(3x1 − x2 − 7)

==>   2 + (-2) = a* ( 6+1-7)

Also 0 = a*0, was offenbar für jedes a stimmt.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort! Das hat mir sehr geholfen. Also war dein Ansatz, zwei beliebige Werte einzusetzen und zu schauen, welchen gemeinsamen Punkt sie haben. Diesen Punkt hast du in die allgemeine Formel eingesetzt und bist auf eine wahre Aussage gestoßen, die für jedes a gilt. Das ist auf jeden Fall die schnellste Lösung. Hast du eine Idee, ob man dies auch zeigen kann, ohne erst konkrete Werte einzusetzen und den Schnittpunkt dieser beiden Geraden zu bestimmen?

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Hast du eine Idee, ob man dies auch zeigen kann, ohne erst konkrete Werte einzusetzen und den Schnittpunkt dieser beiden Geraden zu bestimmen?

Das hab ich in meiner Lösung doch gemacht und ich denke, meine Lösung dürfte dann noch ein bisschen schneller sein, weil man eben nicht mehr zeigen müsste, dass es tatsächlich für jedes a gilt.

Answer 2

Wir teilen die Gleichung auf in Summanden mit und ohne α.

1·x + 2·y = 0

- 3·α·x + α·y = -7·α --> - 3·x + y = -7

Wenn ich das Gleichungssystem löse komme ich auf x = 2 ∧ y = -1

Der Punkt (2 | -1) liegt daher auf jeder Geraden unabhängig von α.

Comments

Vielen Dank! Auch sehr intelligente Lösung!

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- 3·α·x + α·y = -7·α → - 3·x + y = -7 ∨ a=0

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Wenn dann α = 0. Aber das wäre ein bestimmtes α. es soll aber für alle α gelten. Insofern können wir die Lösung α = 0 weglassen, weil nicht sinnvoll.