Berechnen Sie jeweils die Summe

Question

Aufgabe .
(i) Berechnen Sie jeweils die Summe \( v+w \) von \( v, w \in\left(\mathbb{F}_{3}\right)^{6} \).
(a)  \( v=(2,1,2,1,0,1), w=(1,2,1,2,1,1) \).
(b)  \( v=(1,1,1,2,2,2), w=(1,0,2,0,1,2) \).
(ii) Untersuchen Sie die folgenden Vektoren auf lineare Unabhängigkeit in \( \left(\mathbb{F}_{2}\right)^{n} \).
(a)  \( \underline{n=2:}(1,1),(0,1) \in\left(\mathbb{F}_{2}\right)^{2} \).
(b)  \( \underline{n=3:}(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) \in\left(\mathbb{F}_{2}\right)^{3} \).
(c)  \( \underline{n=4:}(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,1,1),(0,1,0,1) \in\left(\mathbb{F}_{2}\right)^{4} \).

Answer 1

(i) In \(\mathbb{F}_3\) gilt 0=3, also

\( (2,1,2,1,0,1)+(1,2,1,2,1,1)=(0,0,0,1,2 \)

\( (1,1,1,2,2,2)+(1,0,2,0,1,2)=... \)

(ii) a*(1,1)+b*(0,1)=(0,0)

==>  a+0=0   und a+b=0

==>   a=0    und b=0.

Also folgt aus a*(1,1)+b*(0,1)=(0,0)

immer a=b=0. D.h. Die Vektoren sind lin. unabhängig.

Die anderen entsprechend prüfen und beachte

In \(\mathbb{F}_2\) gilt 0=2.