beweisen mit volständige Induktion

Question

Aufgabe:

a) Sei A(n) eine Aussage fur alle ¨ n ∈ N und n₀ ∈ N \ {1}.
Begrunden Sie pr ¨ äzise nur mit den bisherigen Resultaten der Vorlesung, dass mittels vollständiger
Induktion auch Aussagen der folgenden Form bewiesen werden können:
“Fur alle ¨ n ∈ N mit n ≥ n₀ gilt A(n).”
Bemerkung: Man findet exakt diese Aufgabe (auf Schulniveau formuliert) 
b) Beweisen Sie, dass 2ⁿ> n² fur alle ¨ n ∈ N mit n ≥ 5.
Hinweis: Benutzen Sie hier unter anderem Satz 2.14 (”
Rechnen mit Ungleichungen“)

unter benutzung dieser Satz :Rechnen mit Ungleichungen
♡
Fur alle ¨ k, m, n ∈ N gilt:
a) m < n ⇒ m + k < n + k.
b) m < n ⇒ mk < nk.
c) m ≤ n ⇒ m + k ≤ n + k.
d) m ≤ n ⇒ mk ≤ nk.
Problem/Ansatz:

Answer 1

a)

Stell dir die vollständige Induktion wie eine Dominokette vor. Du zeigst, dass der n. Stein in einer Kette von unendlich vielen Dominosteinen fällt. Des Weiteren zeigst du, dass wenn der n. Stein fällt auch der n + 1. Stein fällt.

Damit zeigst du, dass alle Steine ab dem n. Stein der fällt fallen.

Es ist hierbei egal, welches der erste Stein ist, der fällt. Aber alle, die dahinter kommen, fallen automatisch mit.

b)

Das 2^5 > 5^2 ist sollte klar sein. Also für 5 ist es gezeigt. Nun musst du noch zeigen das wenn es für ein bestimmtes n gilt es auch für n + 1 gilt

Nimm also mal an es gilt

2^n > n^2

2 * 2^n > 2 * n^2

2 * 2^n > n^2 + n^2

2 * 2^n > n^2 + n·n

Für n ≥ 5 darf man bestimmt die rechte Seite kleiner machen

2 * 2^n > n^2 + 2·n + 1

2^(n + 1) > (n + 1)^2

So gilt auch die Gleichung für n + 1

Comments

für den Teil a) brauche ich noch Hilfe , vielleicht muss ich eine vollständige Induktion aber wie?