Zeigen Sie: Die Menge −A := {−x : x ∈ A} ist nach oben beschränkt…

Question

Aufgabe)

Sei A eine nicht leere Teilmenge von IR, die nach unten beschränkt ist. Zeigen Sie:

(i) Die Menge −A := {−x : x ∈ A} ist nach oben beschränkt, und es gilt sup(−A) =
− inf A.

(ii) Falls inf A > 0, dann ist die Menge A−1 := {x−1 : x ∈ A} nach oben beschränkt und
es gilt sup(A−1) = (inf A)−1.

Problem/Ansatz

Hallo ich hab ein Problem bei diesen Aufgaben. Irgendwie fällt mir nicht mal ein Ansatz ein wie ich das zeigen kann.

Comments

Könnte es sein, dass bie (ii) \(A^{-1}\), insbesondere in der Definition auch \(x^{-1}\) gemeint ist

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Oh ja sorry stimmt das wurde falsch kopiert…Überall wo -1 steht bei ii) soll es ^-1 sein

Answer 1

Sei A eine nicht leere Teilmenge von IR, die nach unten beschränkt ist.

==>   Es gibt eine untere Schranke S für A

==>   Für alle x∈A gilt  S≤x

==>     Für alle x∈A gilt -S≥-x

==>    Für alle x∈-A gilt -S≥x .

Also ist -S eine obere Schranke für A, also

A nach oben beschränkt.