Komplexe Zahlen & binomische Formeln

Question

Aufgabe: Rechnen Sie nach, dass gilt

|z₁|*|z₂|= |z₁*z₂|

z₁= a*b*i & z₂= c*d*i

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist |z1|= ( a^2*b^2*i) = a2i+2a^2b^2i+b^2 i & z2= ( c^2*d^2*i)

Für z2= (a^2*c2-b^2*d^2*i)+ ( a^2*d^2+ c^2-b^2*i)

Aber weiter weiß ich nicht , ich hatte es mit der 3. binomischem Formel versucht.

Comments

Kann es ein, dass es z₁= a+b*i & z₂= c+d*i heißen soll?

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Ja das stimmt

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Dann ist |z₁|² = a² + b² und |z₂|² = c² + d².

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Aber ich muss das doch noch weiter ausrechen oder?

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Ja natürlich! warum tust du es nicht, es ist einfach nur ausrechnen!

lul

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Also ziehe ich dann die Wurzel und erhalte somit a^2+b^2?

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Ich weiß nicht was ich machen soll

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Du musst gar nicht die Wurzel ziehen, denn wenn die

Quadrate gleich sind und jeder der beiden Werte nicht

negativ ist (Das ist bei Beträgen der Fall.) dann sind

sie gleich.

Answer 1

|a+bi|=\( \sqrt{a^2+b^2} \); |c+di|=\( \sqrt{c^2+d^2} \)

(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bd+ad)i

|(a+bi)(c+di)|=\( \sqrt{(ac-bd)^2+(bc+ad)^2} \)

Jetzt ist nur noch zu zeigen:

\( \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \) = \( \sqrt{(ac-bd)^2+(bc+ad)^2} \).

Dazu beide Seiten quadrieren und ausmultiplizieren.