Hallo,
bei der folgenden Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob mein Beweis in Ordnung geht. Könnt Ihr mir sagen, ob mein Beweis richtig ist? Wenn nicht, wo habe ich Fehler gemacht und wie könnte man es stattdessen beweisen?
Aufgabe:
Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen U1, ...,U6 von R3 lineare
Unterräume sind:
U5 ist die Menge aller Vektoren (x1, x2, x3) aus R^3, für die gilt: Es existiert eine reelle Zahl t, so dass x1 = -t und x3 = 2t.
Problem/Ansatz:
Ein linearer Unterraum muss drei Bedingungen erfüllen:
1. Enthält den Nullvektor.
2. Abgeschlossen unter Vektoraddition.
3. Abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.
Wir überprüfen diese Bedingungen für U5:
1. Nullvektor
U5 ist die Menge aller Vektoren \((x_1,x_2,x_3)\) in \(\mathbb{R}^3\), für die es ein \(t\) aus \(\mathbb{R}\) gibt, so dass \(x_1 = -t\) und \(x_3 = 2t\). Der Nullvektor in \(\mathbb{R}^3\) ist \((0,0,0)\), und wenn wir \(t = 0\) setzen, erhalten wir \(x_1 = 0\) und \(x_3 = 0\). Also gehört der Nullvektor zu U5.
2. Vektoraddition
Nehmen wir zwei Vektoren \(u = (x_1,x_2,x_3)\) und \(v = (y_1,y_2,y_3)\) aus U5 an. Diese werden durch die Skalare \(t_1\) und \(t_2\) so beschrieben, dass \(x_1 = -t_1\), \(x_3 = 2t_1\), \(y_1 = -t_2\), und \(y_3 = 2t_2\). Wir müssen zeigen, dass ihre Summe \(u + v = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)\) auch in U5 liegt. Das tun wir, indem wir nachweisen, dass es ein \(t\) aus \(\mathbb{R}\) gibt, so dass die Summe die Bedingungen von U5 erfüllt:
Die erste und dritte Komponente der Summe sind \(-t_1 - t_2\) und \(2t_1 + 2t_2\), was gleich \(-t\) und \(2t\) ist, wenn wir \(t = t_1 + t_2\) setzen. Da \(t\) immer noch ein reeller Skalar ist, liegt die Summe in U5.
3. Skalarmultiplikation
Jetzt nehmen wir einen beliebigen Vektor \(u = (x_1,x_2,x_3)\) aus U5 und einen Skalar \(\alpha\) aus \(\mathbb{R}\). Wir müssen zeigen, dass der skalierte Vektor \(\alpha u = (\alpha x_1, \alpha x_2, \alpha x_3)\) auch in U5 liegt. Wenn \(u\) durch den Skalar \(t\) beschrieben wird, so dass \(x_1 = -t\) und \(x_3 = 2t\), dann ist \(\alpha x_1 = -\alpha t\) und \(\alpha x_3 = 2\alpha t\). Wenn wir \(t' = \alpha t\) setzen, sehen wir, dass \(\alpha x_1 = -t'\) und \(\alpha x_3 = 2t'\), und \(t'\) ist ebenfalls ein reeller Skalar. Folglich liegt der skalierte Vektor in U5.
Da U5 alle drei Eigenschaften erfüllt, ist es ein linearer Unterraum von \(\mathbb{R}^3\).
