Abstand Punkt Gerade Textaufgabe

Question

Aufgabe:

Ein kugelförmiger Körper bewegt sich geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit 10 km
auf der Geraden durch die Punkte A (1|2|4) und B (3|4|3,2) (Koordinaten in km). Der Körper startet von A in Richtung B. Welchen Radius müsste der Körper haben, damit er mit der Spitze eines
Sendemastes S (9 |10,5 | 0,5) kollidiert?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, ob meine Lösung richtig ist, im Buch steht es müssten 960 m sein…

Ich habe die Gerade aufgestellt:

g:x=(1 2 4) + 2,94/10 r*(2 2 -0,8)

Also: g:x=(1 2 4)+r*(0,59 0,59 -0,24)

Dann habe ich den Verbindungsvektor zwischen S und der Gerade aufgestellt:

SG(0,59r-8    0,59r-8,5    -0,24r+3,5)

Dann habe ich r berechnet indem ich das berechnet habe:

SG*(0,59 0,59 -0,24)=0 also ist r=14,1 und der Radius müsste demnach 390 bzw. 0,39km betragen.

Stimmt das? Viele Dank!

Comments

Die Lösung vom Buch ist falsch.

Der Link führt zum Ergebnis berechnet mit WolframAlpha.

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Vielen Dank!!

Answer 1

Abstand Punkt-Gerade

ABS(([9, 10.5, 0.5] - [1, 2, 4]) ⨯ ([3, 4, 3.2] - [1, 2, 4])) / ABS([3, 4, 3.2] - [1, 2, 4]) = 0.4025 = 402.5 m

Comments

Traust du dir zu das in Geogebra zu modellieren und dort den Abstand zu bestimmen zur Kontrolle?

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Danke, ist denn meine Geradengleichung richtig? Ja, ich denke ich kann es versuchen auf Geogebra

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Bis auf die Normierung ist die Geradengleichung gut.

X = [1, 2, 4] + r·[2, 2, -0.8]

Willst du sie jetzt auf die Geschwindigkeit von 10 normieren wird mit

10/ABS([2, 2, -0.8]) = 10/(1.2·√6) ≈ 10/(2.939)

multipliziert. Du hast den Kehrwert benutzt. Das ist verkehrt. Geht es nur um den Abstand ist es aber nicht nötig die Geschwindigkeit zu benutzen.

Geogebra bestätigt meine Rechnung

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Ok, danke aber es gilt doch t=v/s weshalb ich die Länge des Vektors durch die Geschwindigkeit teile. Sonst wäre es doch 1/t=v/s oder nicht?

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1/t ist doch richtig, wenn du multiplizierst ja danach auch noch wieder mit t. Du brauchst den Weg, den du pro Zeiteinheit zurücklegst.

Zunächst teilst du den Vektor durch seine Länge, damit erhältst du einen Vektor, der genau die Länge 1 hat. Dann multiplizierst du ihn mit 10, damit er genau die Länge 10 hat. Das ist dann genau der Weg, der pro Zeiteinheit t zurückgelegt wird.

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Vielen Dank! Ich habe es verstanden. Eigentlich bräuchte ich ja gar keine zeitliche Komponente in der Geradengleichung aber weil in der Aufgabe die Geschwindigkeit gegeben war, dachte ich dass ich diese auch in die Gleichung einbauen muss.

Ich habe jetzt einfach den Abstand von der Gerade zum Punkt mit g:x=(1 2 4) + r*(2 2 -0,8)

Und dem Punkt S berechnet und kam auf 0,42km

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und kam auf 0,42km

Hm. Hast du meine Antwort gelesen. Wie erklärst du die Abweichung von meiner Antwort?

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Ja, ich habe es nochmal gerechnet. Die Abweichung kommt dadurch zustande, dass ich für den Parameter r=4,15 herausbekommen habe aber mit 4,1 weiter gerechnet habe. Wenn man nicht rundet und 4,15 nimmt, kome ich auf 403m