Steckbriefaufgabe ganzrationale Funktion

Question

Aufgabe (Steckbriefaufgabe):

Der Graph einer ganzrationalen Funktion \( \mathrm{f}  3 \). Grades verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Im Punkt \( \mathrm{P}(1 / 1) \) hat die Funktion ein Extremum und im Punkt W(3 / y_w ) einen Wendepunkt.

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion \( \mathrm{f} 3 \). Grades

Ansatz: f(x)=ax^3 + bx^2 +cx + d

verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems.

==>   d=0

Im Punkt \( \mathrm{P}(1 / 1) \) hat die Funktion ein Extremum

==>   f(1)=1   und f ' (1)=0

und im Punkt W(3 / yw ) einen Wendepunkt.

==>   f ' ' (3) = 0

Das gibt 3 Gleichungen für a,b,c. Damit rechnest du die aus.

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion \( \mathrm{f} 3 \). Grades verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Im Punkt \( \mathrm{P}(1 |1) \) hat die Funktion ein Extremum und im Punkt \(W(3 | y_W )\) einen Wendepunkt.

Ich verschiebe den Graphen um 1 Einheit nach unten:
\( \mathrm{P}(1 |1) \)  →\( \mathrm{P´}(1 |0) \)

\(f(x)=a*(x-1)^2(x-N)\)
Ursprung: \(U(0|0)\)  →\(U´(0|-1)\)
\(f(0)=a*(0-1)^2(0-N)=-aN=-1\)  → \(a=\frac{1}{N}\)
\(f(x)=\frac{1}{N}[(x-1)^2(x-N)]\)
\(W(3 / y_w )\):
\(f´(x)=\frac{1}{N}[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2]\)
\(f´´(x)=\frac{1}{N}[2(x-N)+(2x-2)+2x-2]\)
\(f´´(3)=\frac{1}{N}[2(3-N)+(2*3-2)+2*3-2]=0\)  
\(N=7\)  \(a=\frac{1}{7}\) 
\(f(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2(x-7)\)
um 1 Einheit nach oben:
\(p(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2(x-7)+1\)

Answer 3

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f(0) = 0

f(1) = 1

f '(1) = 0

f ''(3) =0

Stelle das Gleichungssystem auf!

Answer 4

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0) = 0
f(1) = 1
f'(1) = 0
f''(3) = 0

Gleichungssystem

d = 0
a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = 0
18a + 2b = 0

Errechnete Funktion

f(x) = 1/7·x^3 - 9/7·x^2 + 15/7·x

Skizze

~plot~ 1/7x^3-9/7x^2+15/7x;{0|0};{1|1};{3|-9/7};[[-6|10|-6|6]] ~plot~