Inklusion Exklusion; alle Fälle

Question

Aufgabe:

In einer Bibliothek gibt es 10 verschiedene Mathematikbücher. Jedes Buch ist genau einmal vorhanden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, alle Bücher auf drei Studierende aufzuteilen, wenn kein/e Studierende/r ohne Buch nach Hause gehen darf und jedes Buch verliehen werden muss? Hinweis: Inklusion-Exklusion

Problem/Ansatz:
Für mich ist zum Beispiel nicht klar, warum man Studierende ohne Buch in der Berechnung betrachten muss. Laut Lösung kann ich herleiten, dass so gerechnet wird:

|10 Bücher auf 3 Studenten gesamt| - |10 Bücher auf 2 Studenten, der 3te kriegt nix| * |3 Studenten, weil jeder derjenige ohne Buch sein kann| + |das zu-viel-Gezählte weggerechnet, also die Anzahl, dass einer kein Buch nimmt bzw. jeder dafür in Frage kommt, dazurechnen|.

Jetzt ist das Problem, warum so, wenn laut Angabe „kein Student ohne Buch nach Hause gehen darf“. Ich hänge gerade total mit der Logik. Und kann man mittels Venn-Diagramm die Problemstellung veranschaulichen, das würde die Komplexität enorm erleichtern?

Comments

Die Lösung schön ausgeschrieben: 3¹⁰ - 3 * 2¹⁰ + 3 = 55.980

---

Das heißt Du kennst die Lösung  verstehst sie aber nicht?

---

Auf die Lösung kann man durch explizites Abzählen aller Möglichkeiten (wie von georgborn angefangen) auch ohne Siebformel kommen (etwas aufwändiger).

---

Genau Mathhilf, das ist das Problem...
Danke, Gast hj2166! Eine Rückfrage, bei deinem Post.

Answer 1

Die vom FS angegebene Lösung kann man wie folgt herleiten:

Das Problem kann man so "modellieren": Wir nummerieren die Bücher mit 1, ... 10, die Studenten als A,B,C. Dann suchen wir die Anzahl der surjektiven Abbildungen $f: \{1, \ldots,10\} \to \{A,B,C\}$.

Dazu:

Alle Abbildungen $f: \{1, \ldots,10\} \to \{A,B,C\}$.: $3^{10}$

Nicht surjektiv sind die Abbildungen $f: \{1, \ldots,10\} \to \{A,B\}$,$f: \{1, \ldots,10\} \to \{B,C\}$.$f: \{1, \ldots,10\} \to \{A,C\}$. Das sind jeweils $2^{10}$

Dabei sind die Abbildungen, die nur auf A oder nur auf B oder nur auf C abbilden doppelt gezählt.

Fazit: $3^{10}-3\cdot 2^{10}+3$

Comments

Oke d.h.

1. Schritt: 3¹⁰ sind alle 10 die A, B oder C bekommen
2. Schritt - 2¹⁰ - 2¹⁰ - 2¹⁰ sind jeweils betrachtet BC ohne A, AC ohne B, und AB ohne C
3. Schritt + 3 weil, bei Schritt 2, bei allen 2¹⁰ entweder A, B, oder C fehlen könnte, bzw. für jedes 2¹⁰ nur A, B, oder C gewählt wird

Habe ich deine Lösung so richtig in eigner Anschauung übertragen? Danke vorab

---

Der letzte Punkt: Es geht um die eine Abbildung, die alles auf A abbildet,. Diese wird 2mal gezählt: Bei den Abbilungen auf A,B und bei den Abbildungen auf A,C . Das wird durch +1 korrigiert.

Analog für B und C.

Answer 2

Ohne Buch: Jeder erhält mindestens 1 Buch.

118, 127, 136, 145, 164, 226, 235, 244, 334,

Reihenfolge berücksichtigen

118 : Student A und B erhalten je 1 Buch, Student C 8 Bücher usw.

Comments

Hallo ggt,
sind nicht 4-4-2 und 2-4-4
nicht daselbe ?

---

Ja, das habe ich übersehen.

Answer 3

1-1-8
1-2-7
1-3-6
1-4-5

2-2-6
2-3-5
2-4-4

3-3-4

Alles andere nur Permutationen ?

Comments

Ausgeschrieben :
270+2160+5040+7560 + 3780+15120+9450 + 12600  =  55980

---

Wie kommt man bitte auf die 270, bzw. 2160...? Danke vorab

---

(10 über 1)*(9 über 1)*(8 über 8)*3 = 270
(10 über 1)*(9 über 2)*(7 über 7)*6 = 2160
...