Archimedisches Prinzip n

Question

Aufgabe: Sei a ein Element von (0,1). Zeigen Sie: Es existiert mindestens ein n Element der natürlichen Zahlen für das folgendes gilt:  a+\( \frac{1}{n} \) < 1

Problem/Ansatz:

Kann mir hier irgendwer helfen? Tipp unter der Aufgabe: Verwende das archimedische Prinzip!

Answer 1

Hier ist nochmal ein Link zum Archimedischen Prinzip.

Das wenden wir jetzt an:

$$a \in (0,1)\Rightarrow 0<1-a < 1$$

$$\stackrel{\text{Archim. Prinzip}}{\Longrightarrow}\exist n\in \mathbb N \text{ mit } n(1-a) > 1$$

Nun gilt aber

$$n(1-a) > 1 \Leftrightarrow 1> a+\frac 1n$$

Fertig.