Bestimmen Sie die Suprema und Infima der folgenden Teilmengen von ℝ .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Suprema und Infima der folgenden Teilmengen von \( \mathbb{R} \). Geben Sie außerdem an, ob die Mengen jeweils ein Minimum bzw. ein Maximum besitzen.
i) \( A=\{x \in \mathbb{R}:|x-3| \leq|x-1|+|x-2|\} \),
ii) \( B=\left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N} \backslash\{0\}\right\} \),
iii) \( C=\left\{x \in \mathbb{R}\right. \) : es gibt ein \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) mit \( \left.|x-n| \leq \frac{1}{n}\right\} \).

Problem/Ansatz: Also, wie kann die erste 2 Aufgabe lösen?

Answer 1

\( |x-3| \leq|x-1|+|x-2| \) löse die Ungleichung durch Fallunterscheidungen:

1. Fall x≥3  Dann sind in allen drei Beträgen die

Terme im Betrag größer oder gleich 0, du kannst also die

Beträge weglassen und hast \( x-3 \leq x-1+x-2 \)

 <=>   x-3 ≤ 2x-3  <=>  0 ≤ x

Also von denen mit x≥3  sind alle mit    0 ≤ x in der Menge

enthalten, das sind halt alle mit  x≥3

2. Fall : 3 >x ≥ 2

Da wird aus |x-3| dann -x+3  aber rechts wie eben, also

               \( -x+3 \leq x-1+x-2 \)

<=>  -x+3 ≤ 2x-3  <=>  6 ≤ 3x <=>  2≤ x

Das sind für 3 >x ≥ 2  auch alle, also sind die mit 3 >x ≥ 2 auch in der Menge.

3. Fall: 2 >x ≥ 1  Da wird es dann

                         \( -x+3 \leq x-1-x+2 \)     etc.