Berechnen Sie jeweils den Inhalt der farbigen Fläche (Integralrechnung)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie jeweils den Inhalt der farbigen Fläche

Problem/Ansatz:

f(x)=1/8(x-3)^2+1

g(x)=0.5x-1

Und die Fläche geht von 0 bis 5

Mein Problem ist, dass ich die Stammfunktion nicht richtig hinbekomme. Das Ergebnis soll 125/24 sein, aber ich habe nie diesen Wert bekommen. Auf was muss ich achten wenn ich die Stammfunktion von \( \int\limits_{0}^{5} \) f(x)-g(x) habe bzw wie sieht diese genau aus?

Answer 1

f(x) = 1/8·(x - 3)^2 + 1 = 1/8·x^2 - 3/4·x + 17/8

g(x) = 1/2·x - 1

d(x) = f(x) - g(x) = 1/8·x^2 - 5/4·x + 25/8

D(x) = 1/24·x^3 - 5/8·x^2 + 25/8·x

∫ (0 bis 5) d(x) dx = D(5) - D(0) = 125/24 - 0 = 125/24

Comments

Vielen Dank! Ich dachte, dass ich mit dem Term (f(x) mit der binomischen Funktion) aufleiten muss, aber so ist es viel leichter

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Du kannst f(x) mit der Kettenregel integrieren. Das macht in der Regel aber vielen Schülern Probleme. Daher empfehle ich das ausmultiplizieren. Gerade wenn das nachher mit anderen Funktionen evtl. zusammengefasst werden soll.

f(x) = 1/8·(x - 3)^2 + 1

F(x) = 1/24·(x - 3)^3 + x

Answer 2

\(f(x)=(x-3)^2\)

\(F(x)=\int\limits_{}^{}(x-3)^2dx\)

Substitution:

\(u=x-3\)       \(\frac{du}{dx}=1\)  →  \(dx=du\)

\(\int\limits_{}^{} u^2du=\frac{1}{3}u^3\)

Re-Substitution:

\(F(x)=\int\limits_{}^{}(x-3)^2dx=\frac{1}{3}(x-3)^3+C\)