Wie skizziere ich diese zwei Mengen in der G. Zahlenebene?

Question

Hallo. Ich soll folgende zwei Mengen in der Gaußschen Zahlenebene Skizzieren. Kann mir jemand dabei helfen?

Comments

Was hast du denn versucht?

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Und für die zweite Menge habe ich mir das hier gedacht.

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\(M_1\) ist richtig.

\(\Re(z-1/z)=0\) hast du nicht richtig aufgedröselt.

Wenn \(z=x+iy\), dann ist \(1/z=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}\). Das sieht man ein, indem man erweitert. (Geometrisch: Kreisspiegelung)

Das heißt \(\Re(z-1/z)=x-\frac{x}{x^2+y^2}=x\cdot \frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2}=0\).

Aus \(|z|=1/2\) kriegst du \(x^2+y^2=1/2\). Du hast dann also: \(2x\cdot (x^2+y^2-1)=0\). Das ist der Fall, wenn \(x=0 \, \vee \, x^2+y^2=1\).

Du hast also eine Einheitssphäre mit Punkt, wenn ich nichts übersehe.

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Kannst du mir diesen Satz genauer erklären? Bzw. das

Aus \(|z|=1/2\) kriegst du \(x^2+y^2=1/2\). folgt kapier ich. Aber wie komme ich dann auf

 \(2x\cdot (x^2+y^2-1)=0\).

Und Einheitssphäre hab ich leider auch noch nie gehört ^^

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\(x^2+y^2=1\) beschreibt den Rand eines Einheitskreises. https://www.desmos.com/calculator/ky43r3ty6a

Das nennt man Einheitssphäre.

Ich habe:$$\Re(z-1/z)=x-\frac{x}{x^2+y^2}=x\cdot \frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2}=0$$ und $$x^2+y^2=1/2$$ Du kannst also in der oberen Gleichung \(x^2+y^2\) durch \(1/2\) ersetzen, bzw. wird das dann zu \(\cdot 2\).

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Alles klar. Glaub ich checks ^^. Besten Dank =)

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Warum hast Du nicht überall x^2+y^2=1/4 gesetzt?

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True da würde dann -3x rauskommen

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Bzw. -3x=0

Also x=0

Das bedeutet die Menge besteht aus allen Zahlen auf der Imaginären Achse oder?

Answer 1

Ich ergänze hier mal die Lösung zu \(M_2\), da in den Kommentaren oben Fehler sind.

Ich rechne mit Absicht weitgehend komplex, weil meines Erachtens dies auch ein/der Sinn der Aufgabe ist.

Zunächst zwei hilfreiche Tatsachen zu komplexen Zahlen:

\(z\bar z = |z|^2 \stackrel{z\neq 0}{\Rightarrow} \frac 1z = \frac{\bar z}{|z|^2}\quad (1)\)

\(z + \bar z = 2\Re(z) \Rightarrow \Re(z) = \frac 12(z+\bar z)\quad (2)\)

Damit haben wir

\(\Re\left(z-\frac 1z\right) =  \Re\left(z-\frac{\bar z}{|z|^2}\right) \)

\( \stackrel{(1)}{=} \frac 12 \left( z-\frac{\bar z}{|z|^2} + \bar z-\frac{z}{|z|^2}  \right)\)

\(\stackrel{(2)}{=}\frac 12 \left( 2\Re(z) - \frac{2\Re(z)}{|z|^2} \right) \)

\(\stackrel{|z|=\frac 12}{=} -3\Re(z) \stackrel{!}{=} 0 \Rightarrow \Re(z) = 0 \)

\(\stackrel{|z|=\frac 12, \Re(z) = 0}{\Longrightarrow} M_2 = \left\{\frac i2, -\frac i2\right\}\)

Lösung mit WolframAlpha: Guckst du hier.