vollständige Indutkion Summe l(l-1)(l-2)

Question

Aufgabe:

Ich soll mittels vollständiger Induktion ∑l=1 n (l(l-1)(l-2)=1/4(n(n^2-1)(n-2) $$\sum\limits_{l=1}^{n} l(l-1)(l-2) = \frac{1}{4}n(n^2-1)(n-2)$$beweisen für alle \(n \in\mathbb{N}\)

Problem/Ansatz:

Ich hab mehrere Probleme, zu einem die aufschlüsselung der Summe aber vorallem, ich beginn bei der vollständigen Induktion ja mit dem kleinst möglichen n, hier also 0 (wir haben definiert Das ℕ=0,1,... und ℕ*=ℕ\0 ist also muss ja IA: n=0 sein, dann hab ich ja ne Leere Summe also 0, und die andere Seite ist eitherway 0 weil 1/4*0*...=0 also stimmt IA, wie funktioniert jetzt der Induktionsschritt?

Comments

Hallo,

da die Terme für n=1 und n=2 beide gleich Null sind, würde ich auch noch n=3 probieren. Das ergibt:

6=6

Nun sei die Behauptung für ein gewisses n wahr.

Es gelte also

\(\text{IV:}~~~\sum\limits_{l=1}^{n} l(l-1)(l-2) = \frac{1}{4}n(n^2-1)(n-2)\)

Gilt es dann auch für n+1?

\(\sum\limits_{l=1}^{n+1} l(l-1)(l-2)\stackrel{?}{=} \frac{1}{4}(n+1)((n+1)^2-1)(n-1)\)

Also

\(\sum\limits_{l=1}^{n+1} l(l-1)(l-2)\\ \stackrel{\text{IV}}{=}\frac{1}{4}n(n^2-1)(n-2)+(n+1)n(n-1) \\ {=}\frac{1}{4}n(n^2-1)(n-2)+n(n^2-1)\\  {=}\frac{1}{4}n(n^2-1)(n-2+4)\\ {=}\frac{1}{4}n(n^2-1)(n+2)\)

Nun betrachte ich den Zielterm.

\(\frac{1}{4}(n+1)((n+1)^2-1)(n-1)\\=\frac{1}{4}(n+1)(n^2+2n)(n-1)\\=\frac{1}{4}(n+1)(n-1)n(n+2)\\=\frac14 n(n^2-1)(n+2)\)

Fertig!

:-)

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aber n=3 wäre nicht das kleinst mögliche n, wir haben die Induktion über das kleinst mögliche n (hier 0) definiert, abgesehen davon ist es ja irrelevant welches n man nimmt da die zu beweisende Aussage stimmt und damit jedes n eine richtige Lösung enthält. Ich hab die n+1 Schritte anders aufgebaut und komme beim aufschlüsseln der Terme nicht weiter, da ich die Summen l=1 n + l=n+1 nach n+1 addiere und dann irgendwann bei n/4(n^-1)(n-2)+((n+1)*n*(n-1) komme und ab da nicht weiter komme

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aber n=3 wäre nicht das kleinst mögliche n

Das ist mir klar. Es ist aber auch nicht verboten, zunächst mehrere Werte einzusetzen.

Ich hab die n+1 Schritte anders aufgebaut ...

Ich ergänze meinen Kommentar ja gerade.

:-)

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Etwas kürzer könnte man auch folgendermaßen argumentieren:
Die Aussage ist offenbar äquivalent zu \(\displaystyle\,\sum_{l=1}^n\binom l3=\binom{n+1}4\).
Induktionsschritt: \(\displaystyle\,\sum_{l=1}^{n+1}\binom l3=\binom{n+1}4+\binom{n+1}3=\binom{n+2}4.\,✅\)

Answer 1

Du musst bei \(n=1\) anfangen, weil für \(n=0\) ist der Term nicht definiert (Division durch). [Edit: ist natürlich Quatsch, habe den Ausdruck erst falsch gelesen].

Was meinst du denn mit Aufschlüsselung? Erstmal kommt sowieso die Induktionsvoraussetzung und dann die Induktionsbehauptung. Dann spaltet man die Summe auf (wie eigentlich bei allen Beweisen mit Summen) und wendet auf die Summe die IV an und versucht auf den Ausdruck zu kommen. Hast du das schon probiert?

Wenn ja, wäre deine Rechnung hilfreich, um nach Fehlern zu suchen.

Comments

Aber ist eine Summe wo oben was kleineres als unten steht nicht als leere Summe definiert und das Ergebnis der Leeren Summe dementsprechend als 0?

Wir haben die vollständige Induktion anders benannt, bei uns heißt das IA und IS also anfang und schritt? oder verstehe ich dich falsch? ich hab bis jetzt IA: leere Summe=0 -> Term = 0 also IA fertig weil 0=0 und jetzt struggle ich beim IS: n=n+1

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Der Term ist nicht 0, sondern nicht definiert. Du würdest ja durch 0 dividieren. Aber ja, die leere Summe ist 0.

IV: Ist die Voraussetzung, dass die Gleichung für ein beliebiges n gilt. Das brauchst du, denn sonst geht der Schritt ja gar nicht.

IB: ist die Behauptung, die man zeigen möchte für n+1. Das sollte man auch nochmal notieren.

Was klappt denn beim IS nicht? Wie weit bist du da?

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Also meine Rechnung wäre hier ∑(l=1 n+1)=∑(l=1 n)+∑(l=n+1 n+1) = 1/4n(n^2-1)(n-2)+((n+1)*(n+1-1)*(n+1-2)

=n/4(n^2-1)(n-2)+((n+1)*n*(n-2)

=n/4(n^2-1)(n-2)+(n^3-n)

und dann bin ich raus weil ich hier jetzt ein n^3 hab somehow?

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Gleicher Nenner und Zusammenfassen schon probiert?

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Ich habs zusammengefasst und komme jetzt auf n^4+2n^3-n^2+2n-4

und hier kommen die Fragezeichen weil n^4 n^3 ja beide nicht im Zielterm sind also 1/4(n(n^2-1)(n-2) ich hänge hier ein bisschen

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Dein Zielterm stimmt übrigens nicht. ;)

Ausmultiplizieren ist nicht immer schlau. Muss es mir gerade mal selbst einmal aufschreiben, moment.

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ich habs zusammengefasst und komme jetzt auf n⁴+2n³-n²+2n-4

Der Hauptfehler bei den Induktionsbeweisen besteht immer darin, alles auszumultiplizieren.

Tipp: Lasse die Produkte stehen, solange es nur geht. Am Ende muss doch wieder ein Produkt (und keine Summe) heraus kommen.

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Aber ab dem Punkt wo da n/4 * (n^2-1) * (n-2) + ((n+1)*n*(n-1) steht muss ich ja irgendwas ausmultiplizieren oder nicht? Ich meine es sind nur noch Faktoren + andere Faktoren, hier komm ich nicht weiter

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Aber ab dem Punkt wo da n/4 * (n²-1) * (n-2) + ((n+1)*n*(n-1) steht muss ich ja irgendwas ausmultiplizieren oder nicht?

Nein - im Gegenteil. mache doch aus der 'Summe' \((n^2-1)\) noch das Produkt \((n+1)(n-1)\) und dann kannst Du den kompletten hinteren Summanden ausklammern.

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Sowohl der vordere als auch der hintere Summand enthalten (n-1)(n+1) bzw. n²-1.

Das kannst du ausklammern.

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Gleicher Hauptnenner und zusammenfassen. Oder, was die anderen schreiben. :)

Am Ende willst du ja einen Bruch und nichts Ausmultipliziertes.

Aber schreibe die IB auf, damit du auch den richtigen Zielterm vor Augen hast.

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also dann n/4 * (n+1) * (n-1) * (n-2) + (n+1)*n*(n-1)

aber wie fasse ich das jetzt zusammen? Ich weiß gerade nicht wie ich hier das + sozusagen rausnehme, also wirklich kein plan wie ich das umformen darf?
Kann ich einfach sagen n/4 * 2(n+1) + 2(n-1) *n? das aber falsch oder? ich kenn hier tatsächlich die Rechenregel nicht

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Der Zielterm also IB ist ja n/4(n^2-1)(n-2) oder?

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also dann n/4 * (n+1) * (n-1) * (n-2) + (n+1)*n*(n-1)
aber wie fasse ich das jetzt zusammen?

Du sollst es ausklammern! Bei einer Summe \(ab+ac\) lässt sich \(a\) ausklammern$$ab+ac = a(b+c)$$Hier kannst Du den Term$$\frac{n}{4}(n+1)(n-1)$$ ausklammern.

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Der Zielterm also IB ist ja n/4(n^2-1)(n-2) oder?

Nein - der Zielterm ergibt sich, indem man das \(n\) durch \(n+1\) ersetzt. Aus$$\frac{1}{4}{\color{red}n}({\color{green}n}^2-1)({\color{blue}n}-2)$$soll werden$$\phantom{=}\frac{1}{4}({\color{red}n+1})\left(({\color{green}n+1})^2-1\right)(({\color{blue}n+1})-2)\\=\frac{1}{4}(n+1)n\left(n+2\right)(n-1)$$

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Ach vergiss das mit dem Hauptnenner. Habe den Ausdruck die ganze Zeit falsch gelesen.

Rechenregel ist das Distributivgesetz (ausklammern): \(ab+ac=a(b+c) \).

Klammere also gemeinsame Faktoren aus, damit wird sie der Summe ein Produkt.

Zielterm falsch. Solange dir der nicht bewusst ist, weißt du ja gar nicht, wo du hin willst. Es wundert mich daher dass ihr angeblich keine IB notiert...

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Was ist den meine IB? wir haben wirklich nur IA und IS im skript stehen

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Okay dann steh ich jetzt bei 1/4 * (n+2) * (n+1) * (n-1) * n und muss zu 1/4(n+1) *(n+1)²-1 * n+1-2? aber wie ._.

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Bist doch fertig. Siehe Kommentar von Werner.

Wiederhole unbedingt elementare Termumformungen.

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Okay dann steh ich jetzt bei 1/4 * (n+2) * (n+1) * (n-1) * n und muss zu 1/4(n+1) *(n+1)²-1 * n+1-2? aber wie ._.$$\begin{aligned} \dots &= \frac{1}{4}n(n-1)(n+1)(n-2) + (n-1)n(n+1) \\ &= {\color{blue}\frac{1}{4}n(n-1)(n+1)}(n-2) + \frac{4}{\color{blue}4}{\color{blue}(n-1)n(n+1)} \\ &= {\color{blue}\frac{1}{4}n(n-1)(n+1)}\left((n-2) + 4 \right) \\ &= \frac{1}{4}(n+1)n(n+2)(n-1) \\ &= \frac{1}{4}(n+1)\left((n+1)^2-1\right)((n+1)-2) \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$nach dem Ausklammern (das Blaue) bleibt nur \((n-2)+4\) stehen

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Ach ok ja stimmt, ich kann dann ja zu 1/4 n (n^2-1) ... ja ok ich hatte miesen ausfall hier, danke euch allen. Mach ich Apfelmännchen :) schönen Sonntag abend euch und danke vielamls

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Gerne und schön, dass du so geduldig durchgehalten hast.

Und danke an die anderen Helfer. :)