Komposition von Abbildungen und ob diese gleich sind

Question

Sei M:={z²+1∣∣z ∈ ℕ} die Menge der Quadratzahlen. Es seien die folgenden Abbildungen gegeben:
f: ℕ → M,n → n²+1,
g: M → ℕ,x → \( \sqrt{x-1} \)
Bestimmen Sie, falls möglich, die Abbildungen f ◦ g und g ◦ f und entscheiden Sie, ob die Abbildungen f ◦ g und g ◦ f gleich sind.


Weiß leider bei der Aufgabe nicht weiter und würde mich über jegliche Hilfe freuen.

Answer 1

Ich denke mal nat. Zahlen beginnen bei euch mit 1.

fog: Geht los bei M (Das ist übrigens die Menge der NACHFOLGER der Quadratzahlen.)

Also sowas wie   2,5,10,17,.... allgemein x=z²+1

Erst g anwenden g(x)=g(z²+1)=√(z²+1-1)=z. Darauf dann f anwenden

gibt f(z) = z²+1=x , also kurz fog(x)=x mit x∈M.

gof: Geht bei ℕ los.  Erst f(n)=n²+1 und dann g(n²+1)= √(n²+1-1)=n

Also gof(n)=n.

Sieht vielleicht auf den ersten Blick so aus, als wäre fog=gof=id.

Aber es ist gof=id_ℕ und fog=id_M , also nicht beide gleich.

Comments

Aber es ist gof=idℕ und fog=idM , also nicht beide gleich.

Verstehe leider diesen Schritt nicht. Lässt sich das genauer erläutern?

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Reicht es Dir nicht, wenn diese Frage in einem Forum beantwortet wird?

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Zwei Abbildungen sind genau dann gleich,

wenn sie gleiche Definitions- und Zielmengen

haben, und für alle x aus dem Definitoonsbereich

gleiche Funktionswerte.

Definitionsbereiche sind bei deinem Beispiel

verschieden, also Abb'en nicht gleich.