Ist die Folge konvergent? brauche ich bernouli?

Question

hallo, ich muss für (1+(1/n))ⁿ^2 den Grenzwert berechnen.. Ich habe es schon mit der bernouli Ungleichung probiert, der recht teil konvergiert der ungleichung geht gegen 1, was bedeutet, dass für die linke Seite der bernouli ungleichung bzw. was wäre der nächste Schritt?

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Nach besagter Ungleichung ist $\large\left(1+\frac1n\right)^{n^2}\ge1+n^2{\cdot}\frac1n=1+n$.
Damit ist die Folge nicht beschränkt und demzufolge nicht konvergent.

Answer 1

Ist es so ? $(1+\frac{1}{n})^{n^2}$

Dann bedenke $(1+\frac{1}{n})^{n}$ hat für n gegen unendlich den Grenzwert e.

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und bedenke außerdem den Satz des Pythagoras

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auf jedenfall danke schonmal! Inwiefern den satz des pythagoras? Bzw wie zeige ich den Zusammenhang zwischen e und dem? Ich muss es nämlich schritt für schritt beweisen und da häng ich grad..

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Mein Kommentar war an m gerichtet, der hat aber leider nicht reagiert.

Du hast natürlich sofort gemerkt, dass der Pythagoras mit deinem Problem gar nichts zu tun hat und genau dasselbe trifft eben auch auf e zu, wie du ganz richtig vermutetest.
Ich wollte dich nicht verwirren, daher als Bonus : die richtige Antwort steht im Kommentar von A.

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okay danke, aber wie komme ich auf das? Ist das einfach eine abschätzung, bzw nur weil das untere divergiert, heißt das das obere auch? ich bilde mir ein das ist eine regel oder? Reicht das deiner meinung nach als beweis?

Answer 2

(1+1/n)ⁿ würde gegen e konvergieren

Wegen dem n² geht die Folge aber gegen oo.

Beispiel:

n= 20

(1+1/20)⁴⁰⁰ = ...

Wenn du ein Kapital mit (1*1/n)ⁿ verzinst, kann du es höchstens ver-e-fachen, auch wenn die konforme Verzinsung

noch so klein sind, z.B. sekündlich.

Dieser Fall liegt aber nicht vor. Wegen n² gibt es kein Limit.

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okay danke, aber wie würde der beweis lauten, die überlegung macht sinn!