Gegeben sei die reelle Abbildung f : R -+ R, 214 - (2 - 4)? - 1.

Question

Aufgabe: Kann mir bitte jemand helfen?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Gegeben sei die reelle Abbildung \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto-(x-4)^{2}-1 \).
1. Untersuchen sie \( f \) auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Begründen Sie Ihre Antworten.
2. Gibt es eine Einschränkung von \( f \), welche bijektiv ist? Wenn ja, dann geben Sie eine solche an und begründen Ihre Wahl.
3. Betrachten Sie die Abbildung \( F: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, n \mapsto-n^{2}-9 \) definiert auf der Teilmenge \( \mathbb{N} \subset \mathbb{R} \). Ist \( f \) eine Fortsetzung von \( F \) auf ganz \( \mathbb{R} \) ? Begründen Sie Ihre Antwort.

Comments

Kannst Du dem Grsphen der Funktion f skizzieren und beschreibe ?

Answer 1

Untersuchen sie \( f \) auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Begründen Sie Ihre Antworten.

f(3)=f(5) also nicht injektiv.

Es gibt kein x∈ℝ mit f(x)=0 , also nicht surjektiv. Damit auch nicht bijektiv.

Gibt es eine Einschränkung von \( f \), welche bijektiv ist? Wenn ja, dann geben Sie eine solche an und begründen Ihre Wahl.

f : [4;∞[ → ]-∞; -1]  mit \(  x \mapsto-(x-4)^{2}-1 \)     würde klappen.

Comments

Wie kommen Sie auf f(3)=f(5) ?Wenn man f(x1)=f(x2) animmt, weisst dies auf eine Injektivität

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Es ist f(3)=f(5) aber 3≠5.

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Bei x=3 und x=5 trifft die Funktion doch auf den selben y-Wert, also ist die Funktion deshalb nicht injektiv oder?

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Genau so ist es; deshalb hatte ich das ja geschrieben.

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Aber wie kommt ihr auf 3 und 5

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Grafische Abbildung

Answer 2

1. Zeichne den Graphen der Funktion.

2. Jede Einschränkung einer Abbildung auf eine einelementige Definitionsmenge und entsprechende einelementige Zielmenge ist bijektiv.

3. Das ist genau dann der Fall wenn \(f(x) = F(x)\) für jedes \(x \in \mathbb{N}\) ist.

Tipp. Forme den Funktionsterm von \(f\) um.

Answer 3

f(x) ist eine verschobene, nach unten geöffenete Normalparabel mit dem Scheitel S(4/-1)

Sie kann auf ganz R nicht bijektiv sein. Sie ist weder injektiv, noch surjektiv.

Nur wenn man einschränkt auf einen "Ast" würde sie bijektiv..

Die Umkehrfunktion wäre dann möglich.