Isometrische Abbildungen zeigen

Question

Sei V ein Euklidischer Vektorraum endlicher Dimension und w ein Vektor aus V, dessen Norm 1 ist.

Zeigen Sie, dass die durch

                                                             f(v)=v-2<v,w>w

definierte Abbildung eine Isometrie ist.


Hinweis: Da man isometrische Abbildungen auf vielfältige Art charakterisieren kann, ist auch ein Nachweis ohne Rechnen möglich

Comments

||f(v)||² zu berechnen wäre ein rechnerischer Weg.

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Wie kommst du auf diesen Ansatz und was wäre deine Begründung. Ich kann mit der Rechnung bisher nichts anfangen

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Eine Charaktierisierung der Isometrie ist ||f(v)||=||v|| für alle v, die ich hiermit zeigen würde.

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aber wieso ziehst du ||f(v)||² es zum Quadrat

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Weil ||v||²= in euklidischen Vektorräumen.

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ich verstehe das immernoch nicht woher du das hast und zu welchem zweck

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Im letzten kommentar hat das System hier auch was verschluckt: Weil $$||v||^2=\langle v, v\rangle $$ in euklidischen Vektorräumen.

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ok,verstanden

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ich komm bei dem beweis nicht weiter, kannst du das vorführeren,bitte?

Answer 1

$$||f(v)||^20==w,v-2w>=-2-2+4^2=||v||^2-4^2+4^2=||v||^2$$, f ist also norm-erhaltend und damit isometrisch.