Abstandsberechnung zwischen grade und Ebene

Question

Aufgabe: Prallelität nachweisen und Abstand berechnen mit Vektoren grade und Ebene

G: (5/2/0)+r(-4/3/2)

E: (0/0/5)+s(1/1/-4)+t(-1/0/2)

Problem/Ansatz:

… verstehe nicht wie ich das berechnen soll

Answer 1

Aufgabe: Prallelität nachweisen

Variante 1: Berechne den Schnittpunkt von g und E und stelle dabei erstaunt fest, dass diese nicht existiert,

Variante 2. Weise nach, dass ein Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Gerade steht. (Skalarprodukt nutzen!)

und Abstand berechnen

Wenn Gerade und Ebene parallel sind, dann entspricht der Abstand Gerade Ebene dem Abszand jedes beliebigen Punktes der Gerade zur Ebene. Kannst du "Abstand Punkt-Ebene"?

Answer 2

Wenn parallel, dann muss es ein s und ein t geben, so dass s(1/1/-4) + t(-1/0/2) = (-4/3/2)

Bei Betrachtung der y-Komponenten sieht man, dass s = 3.

Dann sieht man bei den x-Komponenten, dass t = 7.

Bei den z-Komponenten ergeben diese zwei Werte die Gleichung 3*(-4) + 7*2 = 2, was wahr ist.

Answer 3

Gerade

g: X = [5, 2, 0] + r·[-4, 3, 2] = [5 - 4·r, 3·r + 2, 2·r]

Ebenengleichung in Koordinatenform bringen

E: X = [0, 0, 5] + r·[1, 1, -4] + s·[-1, 0, 2]

k·n = [1, 1, -4] ⨯ [-1, 0, 2] = [2, 2, 1]

E: X·[2, 2, 1] = [0, 0, 5]·[2, 2, 1]

E: 2·x + 2·y + z = 5

Abstandsformel der Ebene

d(P, E) = (2·x + 2·y + z - 5)/√(2^2 + 2^2 + 1^2)
d(P, E) = (2·x + 2·y + z - 5)/3

Hier jetzt die Punkte der Gerade einsetzen um zu zeigen, welchen Abstand alle Punkte der Geraden zur Ebene haben.

d(P, E) = (2·(5 - 4·r) + 2·(3·r + 2) + (2·r) - 5)/3 = 3

Damit haben alle Punkte unabhängig von r den Abstand 3 zur Ebene.