Bestimmen Sie eine Basis von Bild(f) und Kern(f)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis von Bild(f) und Kern(f)

V= M22 Element R und sei f: V -> V

F(a b    = (2a  b+c

c d)    …b+c  2d)

In Aufgabe a habe ich gezeigt, dass f: linear ist.

Problem/Ansatz:

Würde hier also das Bild von f als Matrix schreiben:

(2  1  1  0

0  1  1   2)

Dann mit Gauß umformen.

Bild(f) wäre bei mir (2   (0     und Kern(f) (0              und (-1

                         0)    2)                        1                       2

                                                          -1                      0

                                                           0)                    -1)

RIchtig oder Holzweg?

Hoffe ihr könnt meine Matrizen lesen.

VG

Comments

Hallo
nicht nur deine Matrizen sind nicht lesbar, auch was das
F(a b   = (2a b+c

c d)    …b+c 2d)
bedeuten soll entgeht mir. Ebenso das eigenartige statement: V= M22 Element R
Gruß lull

Answer 1

Schalte um von M22 auf \(\R^4\), das ändert nichts (Isomorphie) und Du bist in den (hoffentlich) altbekannten Gewässern der normalen Vektorrechnung.

Wir haben dann \(f:\R^4\longrightarrow \R^4\) mit

\(f(\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix}) =\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix}\)

Die dabei verwendete Basis von M22 ist die übliche, kannst Du Dir selbst überlegen (wäre mühselig hier hinzuschreiben).

Aus der Abbildungsmatrix kannst Du sofort \(Bild(f)\) ablesen (\(Bild(f)\) wird aufgespannt von den Spalten) und mit etwas Rechnen kriegst Du auch \(kern(f)\). Alles ohne Gauß-Alg usw.

Aus den Spaltenvektoren des \(\R^4\) kannst Du leicht wieder zurück zu M22 kommen.

Comments

Danke nudger.

Basis Bild(f)  <2 0 0 0> , <0 1 1 0> <0 0 0 2>

Basis Kern(f) <0 1 -1 0>

Vektoren dann als 4x1 Matrix geschrieben.

Wusste nicht wie ich genau vorgehe bei der Umformung der Abbildung in den R4.   

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Deine Ergebnisse für kern und bild stimmen. Die zugehörigen Matrizen sind Dir nun auch klar?!

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also sozusagen die Rücktransformation der Basen von Bild und Kern in den M22? Sprich das was ich als Urbild M22 in die Abbildung f reinschicke?

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Wie man die Vektoren in Matrizen umschreibt. Du sollst ja bild und kern bez. M22 angeben. Also z.B. entspricht ja

\(\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) der Matrix \(\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\) 

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Muss ich denn dann bspw, \(\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) umdschreiben in \(\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\) oder in \(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\) da ja die Abbildung f: nach 2a b+c b+c und 2d abbildet heißt, sprich 2*1

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Mit der Abbildung \(f\) hast Du jetzt gar nichts mehr zu tun. Es geht nur noch um M22 und \(\R^4\). Eine Basis von M22 erhält man durch Umschreiben einer Basis von \(\R^4\). Mach Dir klar, wie diese Basis aussieht (kannst Du auch an Abbildungsmatrix sehen).

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Basis Bild(f) = \(\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}\)Basis Kern(f) = \(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\)So? GrußElBurro

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Ja, genau so.

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Vielen lieben Dank nudger für deine Hilfe!