Ist R\Z in R offen und/oder abgeschlossen?

Question

Hallo, vielleicht kann mir wer helfen.. Ist R\Z in R offen und/oder abgeschlossen? Man beantworte dieselbe Frage auch für die Teilmenge R^3\(2Z) x Z x Z von R^3 (versehen mit d2).

Danke schonmal!

Answer 1

R\Z ist offen. Jedes Element enthält auch eine Umgebung, die ganz in der Menge liegt.

Das Komplement ist ist Z, also nicht offen. Somit R\Z auch nicht abgeschlossen.

Comments

vielen dank!! Wir würdest du da an den beweis rangehen?

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Vielleicht so:

Sei x∈ℝ\ℤ. Und sei n∈ℤ die am nächsten bei x gelegene ganze

Zahl, falls x in der Mitte zwischen den beiden benachbarten ganzen

Zahlen liegt, wähle die kleinere.

(Ist egal könnte man auch die größere nehmen.)

Sei ε=|x-n| , wegen x∈ℝ\ℤ ist ε>0 und in der ε-Umgebung von x

liegen keine ganzen Zahlen. Also ist die ε-Umgebung von x ganz

in ℝ\ℤ enthalten. Also ℝ\ℤ offen.