1. Es scheint sich hier um Vektoren zu handeln und nicht um eine spezielle Darstellung von komplexen Zahlen.
(1;0) und (0; i) über Q, R und C.
Die lineare Unabhängigkeit über C ist mir klar, da ich das i einfach mit -i multipliziere und somit auf 2 linear unabhängige Vektoren komme.
Aber warum auch linear unabhängig in Q und R? Da gibt es ja eigentlich gar kein i! Wird der imaginäre Teil einfach weggelassen und nur noch die 1 vor dem i stehen gelassen?
linear unabhängig über K heisst, dass
a(1;0) + b (0; i) = (0;0) nur mit a=b=0 gelöst werden kann. a und b dürfen aus K stammen.
Denn
a(1;0) + b (0; i) = (a; ib) ist nur (0;0), wenn so wohl a als auch b 0 sind.
2.
Bei (1;3), (2;-6) und (e;0) über Q, R und C ist die lineare Unabhängigkeit nur in Q gegeben, weil e ∉Q ist.
über R
a(1;3) + b (2; -6) = 1* (e; 0)
a+b = e
3a - 6b = 0
a = 2b
3b = e
b = e/3
a = 2e/3 a und b in R. Daher lin. abh. über R
Würde ich jetzt statt dem e ein i nehmen, wäre die lineare Unabhängigkeit auch über R gegeben?
Dem würde ich zustimmen.
