Lösungsräume, Geraden, inhomogene Gleichungssysteme, Lineare Algebra.

Question

(Struktursatz für inhomogene Gleichungssysteme)

Es sei \( A \in \operatorname{Mat}_{m \times n}(\mathbb{R}) \). Ist L der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems \( A \vec{x}=\overrightarrow{0} \) und \( L^{\prime} \) der Lösungsraum des inhomogenen Systems \( A \vec{x}=\vec{b} \) für ein \( \vec{b} \in \mathbb{R}^{m} \), dann gilt entweder \( L^{\prime}=\emptyset \) oder für jede Lösung \( \vec{v} \in L^{\prime} \) gilt \( { }^{2} \)
\( L^{\prime}=\vec{v}+L=\{\vec{v}+\vec{w} \mid \vec{w} \in L\} \)

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand ein Beispiel dafür geben? Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Wenn \(\vec{v} \) eine Lösung des inhomogenen Systems ist und \(\vec{w} \) eine Lösung des homogenen Systems, dann ist auch \(\vec{v} +\vec{w} \) eine Lösung des inhomogenen Systems, denn \(A(\vec{v} +\vec{w}) =A\vec{v} +A\vec{w} =\vec{b} +\vec{0}=\vec{b} \).

Das bedeutet, dass du jede Lösung des homogenen Systems zu den Lösungen des inhomogenen Systems hinzuaddieren kannst.