Berechne die Koordinaten von P, so dass…

Question

Gegeben ist die Funktion /(x) = -1/3*x²+ 4 . Dem Graph wird ein achsenparalleles
Rechteck eingeschrieben, wobei eine Seite auf der x-Achse liegt und der Punkt P einer der Eckpunkte des Rechtecks ist. Berechne die Koordinaten von P, so dass
a) der Umfang des Rechtecks maximal wird. Berechne auch den maximalen Umfang!
b) der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird. Berechne auch den maximalen Flächeninhalt!

Text erkannt:

a. \( U(u)=4 u+2 f(u) ; P(3 \mid 1) ; U_{\max }=14 \)
b. \( A(u)=2 u \cdot f(u): P\left(2 \mid \frac{\pi}{3}\right): A_{\max }=\frac{\pi}{3} \)

Comments

Wo ist denn das Problem? Du hast ja sogar schon die Kontrolllösungen da stehen...

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Du hast ja sogar schon die Kontrolllösungen da stehen...

... und die Zielfunktionen.

Answer 1

Planfigur:

a)  Zielfunktion:

\(U(u) =4u+2f(u)\)  soll maximal werden.

Nebenbedingung:

\(f(u)=-\frac{1}{3}u^2+4\)

\(U(u)=4u+2\cdot (-\frac{1}{3}u^2+4)=4u-\frac{2}{3}u^2+8\)

\(U'(u)=4-\frac{4}{3}u\)

\(4-\frac{4}{3}u=0\)

\(u=3\)     \(f(3)=-\frac{1}{3} \cdot 9+4=1\)

 \(U(3) =12+2=14\)

Maximaler Umfang ist \(14\) LE.

b)   Zielfunktion:

\(A(u)=2u\cdot f(u)=2u\cdot (-\frac{1}{3}u^2+4)\) soll maximal werden.

\(A'(u)=2\cdot (-\frac{1}{3}u^2+4)+2u\cdot(-\frac{2}{3}u)\)

\(2\cdot (-\frac{1}{3}u^2+4)+2u\cdot(-\frac{2}{3}u)=0\)

\(-u^2+4=0\)

\(u_1=2\)    \(f(2)=-\frac{1}{3}\cdot 4+4=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\)

\(u_2=-2\)

\(A(2)=4 \cdot \frac{8}{3}= \frac{32}{3}\)

Maximaler Flächeninhalt ist \(\frac{32}{3}\) FE.

Comments

Multiplizieren doch A(u) aus, dann brauchst du keine Produktregel zum Ableiten, die auf dem Niveau der Aufgabe normalerweise noch nicht bekannt ist. Weiterhin ist es denke ich einfacher als wenn du nach der Produktregel zusammenfasst.

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