Integral mittels der Substitutionsregel

Question

Kann mir jemand bei dieser aufgabe weiterhelfen? 

Berechnen sie das integral ∫^{3 wurzel aus} π _{und unterhalb des integrals 0 .} Das ganze ma x^2 sin(x^3)dx mittels der subsitutionsregel.

was genau muss ich hier machen ich komm nicht drauf

Answer 1

Hi,

Substitiuere \(x^3 = u\) und \(3x^2 = du\)


$$\int x^2\sin(x^3) dx = \int x^2\sin(u) \frac{du}{3x^2} = \frac13\int \sin(u)$$

$$=\left[-\frac13\cos(u)\right]  = \left[-\frac13\cos(x^3)\right]$$


Nun nur noch die Grenzen einsetzen ;).

(Wenn die obere Grenze 3√π war):

≈ 0,0334


Grüße

Comments

diese aufgabe kann man gar nicht ohne taschenrechner lösen oder??

---

Die Integration selbst ist ohne Taschenrechner zu erledigen.

Das Einsetzen der Grenzen (wenn ich sie richtig interpretiert habe...ja da brauchst nen TR ;).

 

Für ³√π als obere Grenze braucht es allerdings insgesamt keinen TR! ;)

---

alsoooo ich habe bis hierhin alles versatden nur ein punkt ist mir ein rätsel unzwar haben sie ja ob

du/3x^2 sooo im nächsten schritt haben sie 1/3∫ sin (u) meine frage wo ist das x^2 hin???  und noch eine frage zum einsetzen muss ich 3√pi einfach in x einsetzten???

---

Das x^2 hat sich gekürzt. Steht ja einmal im Nenner und einmal als Vorfaktor vom Sinus ;).

Und yup...ganz am Ende wird das x ersetzt durch die entsprechenden Grenzen.

---

Ok :) ich hab die xhoch2 vor dem sinus voll übersehen :) danke ihnen

---

Freut mich, dass Du ihn noch gesehen hast ;D. Gerne ;).

Answer 2

Ich mach ma das unbestimmte Integral

∫ x^2 * sin(x^3) dx

Substitution

z = x^3
1 dz = 3x^2 dx
dx = 1/(3x^2) dz

∫ x^2 * sin(z) * 1/(3x^2) dz

∫ 1/3 * sin(z) dz

1/3 * (-cos(z)) + C

- 1/3 * cos(z) + C

Resubstitution

- 1/3 * cos(x^3) + C

Jetzt kannst du auch das bestimmte Integral ausrechnen.

Comments

muss man bei sin(x^3) immer substituition machen?? ich glaube diese aufgabe kann man auch ohne substitution lösen oder wir machen das ja nur weil das in der aufgabe steht oder irre ich mich??

---

Formal heit das Verfahren Integration durch Substitution. Du kannst allerdings auch Umkehrung der Kettenregel sagen.

Also
[ u(v(x)) ]' = v'(x) * u'(v(x))

∫ v'(x) * u'(v(x)) dx = u(v(x))

Wenn wir also die Ableitung einer inneren Funktion als Faktor vor einer äußeren Funktion sehen kann man eigentlich immer gleich die Kettenregel umkehren ohne das wirklich Integration durch substitution zu nennen. Es kommt aber exakt auf das selbe heraus.