Aloha :)
Kandidaten für Extremwerte sind die Nullstellen des Gradienten:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\begin{pmatrix}e^x\left(x^2+y^2+z^2+\frac34\right)+2xe^x\\2ye^x\\2ze^x\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Da die \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) gilt, muss \(y=0\) und \(z=0\) gelten.
Für die erste Komponente muss dann gelten:$$\small0=e^x\left(x^2+\frac34\right)+2xe^x=e^x\left(x^2+2x+\frac34\right)=e^x\left((x^2+2x+1)-\frac14\right)$$$$\small\phantom 0=e^x\left((x+1)^2-\frac14\right)=e^x\left((x+1)+\frac12\right)\left((x+1)-\frac12\right)=e^x\left(x+\frac32\right)\left(x+\frac12\right)$$Das liefert \((x=-\frac32)\) oder \((x=-\frac12)\). Die Funktion hat also 2 kritische Punkte:$$P_1\left(-\frac12\bigg|0\bigg|0\right)\quad;\quad P_2\left(-\frac32\bigg|0\bigg|0\right)$$
Zur Prüfung der beiden Kandidaten werten wir die Hesse-Matrix:$$H(x;y;z)=\begin{pmatrix}e^x\left(x^2+y^2+z^2+\frac34\right)+4xe^x+2e^x & 2ye^x & 2ze^z\\2ye^x & 2e^x & 0\\2ze^x & 0 & 2e^x\end{pmatrix}$$für beide Kandidaten aus:$$H\left(-\frac12;0;0\right)=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt e} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{\sqrt e} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{\sqrt e}\end{pmatrix}\quad;\quad H\left(-\frac32;0;0\right)=\begin{pmatrix}-\frac{1}{e\sqrt e} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{e\sqrt e} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{e\sqrt e}\end{pmatrix}$$
Bei der zweiten Matrix tauchen auf der Hauptdiagonalen unterschiedliche Vorzeichen auf, daher ist die Matrix indefinit und an der Stelle \(P_2\) liegt kein Extremum vor.
Die erste Hesse-Matrix ist eine Diagonalmatrix, daher stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen. Da alle Eigenwerte positiv sind, ist die Matrix positiv definit und bei \(P_1\) liegt ein Minimum vor.
