f: R -> R^2 injektivität

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

f: ℝ → ℝ²  mit f(x) = (-x + 1, x² + 1)

(a) Ist f injektiv, surjektiv oder bijektiv?
(b) Bestimmen Sie eine Linksinverse von f oder begründen Sie warum eine Linksinverse von f nicht existiert.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ganz, ob diese Funktion nun injektiv ist oder nicht. Die 2te Koordinate des Paares ist nicht injektiv da hier z.B. bei x = 2 und x = -2 das selbe herauskommt, aber insgesamt ist das Paar anders. Also z.B. bei x = 2 und x = -2 Wären die Funktionswerte wie folgt:

f(2) = (-1, 5)
f(-2) = (3,5)

Answer 1

Auch wenn die 2. Koordinate übereinstimmt, sind (-1, 5) und (3, 5) ja trotzdem unterschiedliche Punkte im \( \mathbb{R}^2 \), also würde das nicht der Injektivität widersprechen. Allgemein lässt sich Injektivität am besten per Widerspruchsbeweis zeigen:

Angenommen, \( f \) ist nicht injektiv. Dann gibt es \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \) mit \( x_1 \neq x_2 \), sodass \( f(x_1) = f(x_2) \). Folglich \( f(x_1) = (-x_1 + 1, x_1^2 + 1) = (-x_2 + 1, x_2^2 + 1) = f(x_2) \). Die beiden sind Punkte sind nur gleich, wenn beide ihrer Koordinaten gleich sind. Daraus folgt, dass \( -x_1 + 1 = -x_2 + 1 \), also \(x_1 = x_2\). Widerspruch zur Annahme, dass \(x_1 \neq x_2 \), also ist \( f \) injektiv.

Comments

Also muss das ganze Paar gleich sein um die injektivität zu wiederlegen nicht nur eine einzelne Koordinate ok. Was wäre wenn (1,2) und (2,1) herauskommt? Sind die Paare äquivalent oder spielt die Reihenfolge von a und b eine Rolle?

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Das sind auch unterschiedliche Punkte. Stell dir die ersten Koordinate als Wert auf der x-Achse vor, und die zweite als Wert auf der y-Achse. Dann sieht man, dass das 2 unterschiedliche Punkte sind. Allgemein ist Injektivität ja als Eigenschaft einer Funktion zwischen 2 Mengen definiert. Die "Eingabemenge" ist hier \( \mathbb{R} \) (also Punkte, die auf dem reellen Zahlenstrahl liegen) und die "Ausgabemenge" ist \( \mathbb{R^2} \) (also Punkte, die auf der reellen Ebene liegen). Solange die Punkte (nicht zwingend alle) der Ausgabemenge jeweils nur höchstens einmal abgedeckt sind, ist die Funktion injektiv. Wenn alle Punkte mindestens einmal von der Funktion abgedeckt werden, dann surjektiv. Wenn beides zutrifft (also alle Punkte genau einmal abgedeckt sind, da mindetens und höchstens 1 hier "genau" bedeutet), ist sie bijektiv.

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Alles klar vielen vielen Dank für die schnelle Antwort!

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Bedeutet dann auch, das die Funktion nicht surjektiv sein kann, Weil die "y"-Koordinate nicht ins negative gehen kann, Wegen dem ^2 oder? Also ist die Funktion nur injektiv, nicht surjektiv oder bijektiv

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Gerne doch, viel Glück noch!

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Bzgl des anderen Kommentars: Genau, sehr gut :)