Wird Gleichung wahre Aussage?

Question

Nenne zwei Beziehungen zwischen a und b, sodass die Gleichung x³+y³+z³=1 für x=b²a², y=b-b²a², z=1-b²a zu einer wahren Aussage wird.

Answer 1

Suchst du die Beziehungen:

3·a = b ∨ a·b = 1

Das wären die Bedingungen, die ich neben b = 0 gefunden habe.

Comments

Ja, genau diese hatte ich auch gefunden. Dein Rechenweg scheint der gleiche zu sein, den ich auch gewählt habe.

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Und welchen hast du gewählt?

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Und welchen hast du gewählt?

Eigentlich hatte ich extra keinen Rechnungsweg beigefügt damit interessierte es selbst probieren können. Ich setze es mal als Spoiler.

[spoiler]

x^3 + y^3 + z^3 = 1

x, y und z ersetzen und vereinfachen.

(a^2·b^2)^3 + (b - a^2·b^2)^3 + (1 - a·b^2)^3 = 1

a^6·b^6 + b^3 - 3·b^2·(a^2·b^2) + 3·b·(a^2·b^2)^2 - (a^2·b^2)^3 + 1^3 - 3·1^2·(a·b^2) + 3·1·(a·b^2)^2 - (a·b^2)^3 = 1

a^6·b^6 + b^3 - 3·a^2·b^4 + 3·a^4·b^5 - a^6·b^6 + 1 - 3·a·b^2 + 3·a^2·b^4 - a^3·b^6 = 1

3·a^4·b^5 - a^3·b^6 - 3·a·b^2 + b^3 + 1 = 1

3·a^4·b^5 - a^3·b^6 - 3·a·b^2 + b^3 = 0

ausklammern

b^2·(3·a^4·b^3 - a^3·b^4 - 3·a + b) = 0

b = 0

3·a^4·b^3 - a^3·b^4 - 3·a + b = 0

a^4·b^3 - 1/3·a^3·b^4 - a + 1/3·b = 0

Vermutung: a = 1/3·b

Polynomdivision

(a^4·b^3 - 1/3·a^3·b^4 - a + 1/3·b)/(a - b/3) = a^3·b^3 - 1 = 0

a^3·b^3 = 1

a·b = 1

[/spoiler]

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Bis hierher habe ich genauso gerechnet: 3·a⁴·b³ - a³·b⁴ - 3·a + b = 0. Dann habe ich so weitergerechnet: (3·a⁴·b³ - 3·a) - (a³·b⁴ - b) = 0. Ausklammern aus jeder der beiden Klammern 3a(a³b³-1) - b(a³b³-1)=0 oder

(3a-b)(a³b³-1)=0. Daraus folgen die beiden gesuchten Beziehungen zwischen a und b.