Zeige supp f echte teilmenge

Question

Zeige, dass es für jedes n ∈ N eine Funktion f ∈ C∞(Rn) mit folgenden Eigenschaften gibt: supp(f) ⊂ B₁(0), f > 0 in B₁(0).

Meine Idee wäre jetzt erstmal ganz simpel f = χ_B1-ε(0). Das kann doch nicht so einfach sein oder?

Über Hilfe würde ich mich freuen :)

Comments

Das kann doch nicht so einfach sein oder?

Frage Dich, was das \(\infty\) in \(C^{\infty}\) bedeutet und wie das zu eine charakteristischen Funktion passt.

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Ach stimmt. Dann geht das natürlich nicht. Hab ich überlesen. Trotzdem fällt mir das schwer.

Sin(|x|) + 2  geht doch auch nicht oder? Supp f Ist dann ja keine echte Teil Menge mehr oder?

Answer 1

Hallo,

man muss dieses Problem wohl kennen, um eine LÖsung zu finden. Du suchst ja eine unendlich oft diefferenzierbare Funktion, die ihrem Träger kompakt in der offenen Einheitskugel hat. D.h. sie muss am Rand des Trägers mit all ihren Ableitungen verschwinden. Dafür gibt es - im wesentlichen - nur eine Beispiel-Klasse, etwa

$$f(x):=\exp(\frac{t^2}{|x|^2-t^2}) \text{  für }|x|<t, \qquad f(x):=0 \text{ sonst}$$

mit einem positiven t kleiner als 1.

Der Nachweis, dass f am Rand des Trägers beliebig oft differenzierbar ist, ist nicht-trivial.

Infos findest Du zum Beispiel unter dem Stichwort "Testfunktion"

Comments

danke für deine antwort, allerdings habe ich noch ein paar fragen, falls du die mir beantworten könntest wäre das super :)

1. warum muss t < 1 seien? |x| < t bei B₁(0) bedeutet doch t = 1 wäre schon die grenze die die x im ball betrachtet, oder nicht?

2. die ableitungen müssten ja \( \frac{d}{dxi} \) f(x) = -\( \frac{2xi}{(||x|2 - 1 )2} \) f(x) seien. da der f(x) term gegen e^-∞ geht für |x| gegen 1, "überwiegt" also den -\( \frac{2xi}{(||x|2 - 1 )2} \) term in der ableitung. also währe die ableitung auch stetig. aber ich zeig das doch nicht für alle ableitungen jetzt. geht ja garnicht. ich habe leider nichts dazu gefunden warum die funktion C^∞ ist. wie gehe ich da am besten vor?

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1. Da hast Du recht, t=1 reicht für cie Aufgabe.

2. Differenzierbarkeit ist ein technisch anspruchsvolles Problem. Man kann zeigen, dass die Ableitungen die allgemeine Form haben

$$P_n(x)(|x|^2-t^2)^{-n}\exp(,,,)$$

Mit einem Polynom P. Das muss man dann induktiv über die Ordnung der Ableitung bestätigen. Da muss man mal einges ausprobieren, um das gut zu organisieren.

Es gibt auch eine andere Option: Man kann eine beliebig oft differenzierbare Funktion h mit Träger in \([-t,t]\) bestimmen und dann

$$f(x)=h(x_1)....h(x_n)$$

Setzen. Das hat als Träger einen Quader, den man so klein wählt, das er in diecEinheitskugel passt. Dann hat man das Ganze aufs Eindimensionale zurückgeführt.

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\(P_n(x)(|x|^2-t^2)^{-n}\exp(,,,)\)

wenn ich diesen induktionsbeweis durchführen möchte, definiere ich mir am ende ein P_n+1(x) = $$P_n(x)\frac{2x}{|x|^{2}-t^{2}} - 2nx + P'_n(x)(|x|^{2}-t^{2})$$

mit den x ohne betrag und dem P' sind natürlich die entsprechende variable gemeint, nach der abgeleitet wird.

Das könnte ich doch einfach so mach oder? Da das ganze aufgrund des e terms immernoch gegen 0 geht für |x| -> 1.

Das hat als Träger einen Quader, den man so klein wählt, das er in diecEinheitskugel passt.

Diesen ansatz verstehe ich leider nicht ganz. ein quader ist ja keine kugel, egal wie viele dimensionen wir haben. also müsste es ja immernoch am rand des quaders genug platz geben, der in der kugel liegt, aber nicht teil des trägers ist oder?

wenn ich ein h finde dessen Träger in [-t, t] liegt, und ich im ℝ² bin, dann müsste ja f(t, t) = h(t)^{2} seien, aber |(t, t)| ist ja \( \sqrt{2} \) t, also wäre ich nach der ersten überlegung in einem kleineren träger, nach der 2 in einem größeren.

kannst du mir sagen wo mein denkfehler liegt?

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Es wäre dann f(x_1,x_2)=h(x_1)h(x_2). Dies wäre ungleich 0 nur wenn |x_1|<t und, |x_2|<t

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aber nur weil |x₁| und |x₂| < t sind, ist doch nicht automatisch $$\sqrt{x_1^{2} + x_2^{2}} < t  $$ also ist der träger eventuell sogar größer als B_t(0)? tut mir leid falls ich hier doofe fragen stelle, aber bin ein wenig verwirrt warum dieser ansatz funktioniert.

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Deshalb habe ich ja oben geschrieben, dass man den Quader so klein machen muss, dass er in die Einheitskugel passt also nt^2<=1.

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Aber dann fallen doch Punkte weg, da nicht alle Punkte die in der Kugel liegen in dem Quader liegen können oder? Wenn der Quader nicht aus dem Kreis übertreten darf, dann ist er ja kleiner als die kugel

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Wenn die Funktion ihren Träger innerhalb eines Quaders hat und der Quader ist Teilmenge der Kugel, dann liegt der Träger doch innerhalb der Kugel

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aber dann währe doch nicht f > 0 in der offenen kugel oder doch?

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Da muss ich ich entschuldigen, diese Bedingung habe ich im Lauf unserer Diskussion aus dem Auge verloren. Die Problematik mit dem Nachweis der Differenzierbarkeit hat mich erst auf die 2. Variante gebracht.

Also geht es wohl nur mit der zuerst angegebenen Formel und t=1

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alles klar, ich rätsel noch ein bisschen rum wie ich das zeige bis morgen um 10 uhr, da ist abgabe.

wirklich vielen vielen dank für deine zeit und hilfe :)