Aufgabe 1 (6+4 Punkte). Auch für Sinus und Kosinus hat man Restgliedabschätzungen, die später in der Vorlesung bewiesen werden: Für alle \( x \in \mathbb{R} \) und alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt
\( \cos (x)=\sum \limits_{k=0}^{N}(-1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k) !}+r_{2 N+2}(x) \quad \text { und } \quad \sin (x)=\sum \limits_{k=0}^{N}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !}+r_{2 N+3}(x), \)
wobei im Falle \( |x| \leq n+1 \) gilt
\( \left|r_{n+1}(x)\right| \leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1) !} . \)
(a) Zeigen Sie, dass \( \sin \) und \( \cos \) in \( x=0 \) stetig sind.
(b) Folgern Sie, dass sin und cos auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig sind.
Dabei dürfen Sie nur die folgendes Wissen über sin und cos verwenden:
\( \cos (x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !} \quad \text { und } \quad \sin (x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \)
Die beiden obigen Reihen konvergieren absolut
\( \cos (-x)=\cos (x) \text { und } \sin (-x)=-\sin (x) \text { für alle } x \in \mathbb{R} . \)
\( \cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y) \text { für alle } x, y \in \mathbb{R} . \)
\( \sin (x+y)=\cos (x) \sin (y)+\sin (x) \cos (y) \) für alle \( x, y \in \mathbb{R} \).)
\( \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
\( \sin (x) \in[-1,1] \) und \( \cos (x) \in[-1,1] \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
Problem/Ansatz:
ich bin hier leider sehr verwirrt, das heißt ich weiß garnicht, wo man überhaupt anfangen soll. Ich habe mal probiert, das Epsilon-Delta-Kriterium zu verwenden, aber da ist kein wirkliches Ergebnis herausgekommen. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben oder die Aufgabe mit mir zusammen bearbeiten? Wäre wirklich super. Vielen Dank :-)
