Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis B

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Vektoren aus V := C3

u1= (2,2i,i) und u2=(4,0,i)

a) Wir betrachten V = C³ mit dem Standardskalarprodukt ⟨x,y⟩ = xTy. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis B = (b1,b2) von U = lin(u1,u2) mit dem Gram-Schmidt Verfahren, also so, dass zusätzlich auch lin(b1, b2) = lin(u1, u2) gilt.

b) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes Q = (3,-i,5i) von U.

Problem/Ansatz:

Comments

Hallo

Gram-Schmidt  sollte doch wohl bekannt sein? was genau weisst du nicht?

lul

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Das Skalarpordukt ist falsch angegeben. Der 2. Faktor (bei einigen der erste) muss konjugiert komplex genommen werden.

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Ich weiß nicht wo ich anfangen soll

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Mit der ersten Anweisung des Verfahrens. Vielleicht schreibst du diese Anweisung mal mit Eurer Schreibweise hierhin ....

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Die Vektoren: sollen waagerecht, statt senkrecht wie sie sind.

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Hallo

"Die Vektoren: sollen waagerecht, statt senkrecht wie sie sind." ist leider einfach Quatsch

1. Schritt normiere u1 dann ist das dein b1. dann ziehe von U2 seine Komponente in Richtung u1 ab, (die findest du durch ein Skalarprodukt) dann normiere diesen neuen Vektor, der jetzt senkrecht auf b1 steht,

Gram Schmidt steht wirklich  unzählige male im netz, sicher auch in deinem Skript!

lul

Answer 1

ONB siehe Dein vorangegangenen Post.

erzeuge einen zu ONB⟂ vektor n=(a,b,c) \to ONB (a,b,c)^T = 0 oder Gram-Schmidt

U_Unterraum $\to n\; \vec{x}=0$

Ebene gebildet von zu ONB senkrechtem Vektor n, |n|=1

Orthogonale Projektion u_{Lot auf U}

oder

$\sum\limits_{j=1}^{n}\left<o_j^{*}, u \right> o_j = w ∈ Span ONB=\left(o_1, . . , o_n\right) \\\text{w Vektor mit dem kleinsten Abstand } |u-ONB|. Lotfussvektor$

Kontrollergbnis $AbstandUu \, := \, 3 \; \sqrt{2}$

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