Aloha :)
Zur Berechnung des Kurvenintegrals brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der alle Punkte auf der Kurve abtastet. Da uns hier zwei Wege vorgegeben sind, teilen wir diesen Ortsvektor in zwei auf:$$C_1\colon \vec r_1=\binom{x}{0}\;;\;x\in[-7;8]\quad\text{und}\quad C_2\colon\vec r_2=\binom{2+6\cos t}{6\sin t}\;;\;t\in\left[0;\frac\pi2\right]$$Der Weg \(C_1\) führt von \((-7|0)\) nach \((8|0)\). Der Weg \(C_2\) führt von \((8|0)\) nach \((2|6)\). Der Weg ist also nicht geschlossen, aber zumindest fängt \(C_2\) da an, wo \(C_1\) endet.
Das gesuchte Wegintegral ist also:$$\vec E=\int\limits_Kxy\,d\vec r=\int\limits_{(-7;0)}^{(8;0)}(\vec r_1)_x\cdot(\vec r_1)_y\,d\vec r_1+\int\limits_{(8;0)}^{(2;6)}(\vec r_2)_x\cdot(\vec r_2)_y\,d\vec r_2$$
Beachte, dass ich \(\vec E\) geschrieben habe, weil das Kurvenintegral über einem Skalarfeld Vektorcharakter hat. Wir substituieren wie folgt:$$\vec E=\int\limits_{x=-7}^8\underbrace{x\cdot0\cdot\frac{d\vec r_1}{dx}}_{=0}\,dx+\int\limits_{t=0}^{\pi/2}(2+6\cos t)(6\sin t)\,\frac{d\vec r_2}{dt}\,dt$$$$\phantom{\vec E}=\int\limits_{t=0}^{\pi/2}(12\sin t+36\sin t\cos t)\,\binom{-6\sin t}{6\cos t}\,dt$$$$\phantom{\vec E}=72\int\limits_{t=0}^{\pi/2}(\sin t+3\sin t\cos t)\,\binom{-\sin t}{\cos t}\,dt$$$$\phantom{\vec E}=72\int\limits_{t=0}^{\pi/2}\binom{-\pink{\sin^2t}-3\sin^2t\cos t}{\sin t\cos t+3\sin t\cos^2t}dt$$$$\phantom{\vec E}=72\int\limits_{t=0}^{\pi/2}\binom{-\pink{\frac12(1-\cos(2t))}-3\sin^2t\cos t}{\sin t\cos t+3\sin t\cos^2t}dt$$$$\phantom{\vec E}=72\left[\binom{-\frac12\left(t-\frac12\sin(2t)\right)-\sin^3t}{\frac12\sin^2t-\cos^3t}\right]_{t=0}^{\pi/2}$$$$\phantom{\vec E}=72\left[\binom{-\frac\pi4-1}{\frac12}-\binom{0}{-1}\right]=72\binom{-\frac\pi4-1}{\frac32}=\binom{-18(4+\pi)}{108}$$
Ergänzung für Metalhead:
Wenn nicht das Integral über \(d\vec r\), sondern über den Betrag \(dr\) gemeint ist, bleibt die Parametrisierung der Kurven ungeändert, aber das Integral hat keinen Vektorcharakter mehr:$$\vec E=\int\limits_Kxy\,d\vec r=\int\limits_{(-7;0)}^{(8;0)}(\vec r_1)_x\cdot(\vec r_1)_y\,dr_1+\int\limits_{(8;0)}^{(2;6)}(\vec r_2)_x\cdot(\vec r_2)_y\,dr_2$$
Die Substituion erfolgt nun genau wie oben, nur dass jetzt bei den Ableitungen der Ortsvektoren die Beträge zu wählen sind:$$E=\int\limits_{x=-7}^8\underbrace{x\cdot0\cdot\left\|\frac{d\vec r_1}{dx}\right\|\,dx}_{=0}+\int\limits_{t=0}^{\pi/2}(2+6\cos t)(6\sin t)\,\left\|\frac{d\vec r_2}{dt}\right\|\,dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_{t=0}^{\pi/2}(12\sin t+36\sin t\cos t)\,\left\|\binom{-6\sin t}{6\cos t}\right\|\,dt$$$$\phantom{E}=12\int\limits_{t=0}^{\pi/2}(\sin t+3\sin t\cos t)\underbrace{\sqrt{36\underbrace{(\sin^2t+\cos^2t)}_{=1}}}_{=6}\,dt$$$$\phantom E=72\int\limits_0^{\pi/2}(\sin t+3\sin t\cos t)\,dt$$$$\phantom E=72\left[-\cos t+\frac32\sin^2t\right]_0^{\pi/2}=72\left(\frac32+1\right)=72\cdot\frac52=180$$
