Exponentielles Wachstum Realschulabschlussprüfung: Um 22 Uhr waren 50 mg Koffein in seinem Blut.

Question

Nach dem Trinken des koffeinhaltigen Getränks ColdStar gelangt Koffein ins Blut und wird dort abgebaut. Janis hat eine Dose ColdStat getrunken. Um 22 Uhr waren 50 mg Koffein in seinem Blut. Der Koffeingehalt nimmt dann jede Stunde um 20% ab.

a) Berechne wie viel mg Koffein Janis um Mitternacht im Blut hat.

b) Gib einen Term an, mit dem sich die Menge des Koffeins im Blut nach n Stunden berechnen lässt.

c) Drei Stunden nach der vollständigen Aufnahme des Koffeins ist nur noch etwa halb so viel Koffein  im Blut   vorhanden.   Überprüfe diese richtige Aussage mit einer Rechnung.

d) Janis Freund behauptet: "Wenn nach drei Stunden nur noch die Hälfte da ist, dann ist nach sechs Stunden kein Koffein mehr vorhanden."  Überprüfe diese Aussage und begründe deine Antwort.

e) Die Grafik zeigt die exponentielle  Abnahme von 120 mg einer Zuckerart im Blut

f) Um wie viel Prozent nimmt die Menge dieser Zuckerart stündlich ab? Schreibe den Buchstaben vor der richtigen Prozentzahl auf dein Reinschriftpapier.

A 20%

B 30%

C 45%

D 60%

g) Die sehr kleinen Werte sind aus dem Diagramm nicht gut ablesbar. Wie viel Milligramm dieser Zuckerart sind nach fünf Stunden noch vorhanden? Rechne mit deinem Prozentsatz aus  f)

Hier der Grafik:

Ich habe keine Ahnung wie man hier vorgehen muss? Ich übe für die Realschulabschlussprüfung, die in 2 Monaten ist und ich bin auf diese Aufgabe gestoßen. Wir hatten noch nie exponentielles Wachstum und ich mache mir etwas sorgen, was wenn so eine Aufgabe wieder vorkommt?! Ich denke nicht, dass man hier die Ableitungen braucht, da ich noch in der 10.Klasse Realschule bin.

Comments

Hallo Emre, da geht so ähnlich wie bei Zinseszins.

Hier mal ein Anfang:

 

Um 22 Uhr waren 50 mg Koffein in seinem Blut. Der Koffeingehalt nimmt dann jede Stunde um 20% ab.

a) Berechne wie viel mg Koffein Janis um Mitternacht im Blut hat.

um 22 Uhr 50 mg

um 23 Uhr 50*0.8 mg

um 24 Uhr 50*0.8*0.8 mg = 50*0.8^2 mg = 32 mg

b) Gib einen Term an, mit dem sich die Menge des Koffeins im Blut nach n Stunden berechnen lässt.

K(n) = 50*0.8^n                 Koffein n Stunden nach 22 Uhr.

Ich hoffe du kommst so weit mit und auch schon ein Stück weiter.

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Hallo Lu :)

Danke für deine Hilfe! Das Problem ist, dass wir so etwas noch nie im Unterricht gemacht haben. Ich weiß auch gar nicht, wie ich dazu ein Term aufstellen soll. Ohne deine Hilfe könnte ich die a) und die b) niemals ... ich weiß nicht mal wie so etwas aussehen soll :(

Wie kamst du auf 0.8??? :(

Hast du den Term jetzt extra K(n) genannt oder muss das so sein? Könnte man ihn auch anders nennen? Wie sieht eigentlich die Allgemeinefunktionsgleichung aus (falls es auch hier so etwas gibt)? :)

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Vgl. meine Antwort.

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!! Kann man denn deine Kommentare zu einer Antwort umwandeln? :)

Wie heißt die Funktionsgleichung, also irgendwie muss man ja diese Werte einsetzen? :) Kannst du mir die sagen? Und wie kamst du immer auf 0.8???

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Du musst vermutlich genau gleich vorgehen wie hier: https://www.mathelounge.de/43692/exponentielles-wachstum-zerfall-bakterienkultur-experiments

Einziger Unterschied: Es handelt sich hier um exponentiellen Zerfall und bei den Bakterien um exponentielles Wachstum.

Ausserdem 20% Abnahme heisst 'mal 0.8', dürftest du von Zinsrechnung: 5% Zunahme entspricht 'mal 1.05' wiedererkennen.

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Bitte. Gern geschehen! 

Wir hatten noch nie exponentielles Wachstum und ich mache mir etwas sorgen, was wenn so eine Aufgabe wieder vorkommt?!

Es gibt da immer Aufgaben, die du nicht sofort durchrechnen kannst. Man löst da erst mal die Aufgaben, die du sicher lösen kannst. Es ist selten so, dass man Zeit hat, alle Aufgaben vollständig durchzurechnen. Man muss ja nicht alle Aufgaben vollständig richtig haben, um diese Prüfung zu bestehen.

Wenn man Zeit hat: Weggelassene Aufgaben mal noch in Ruhe durchlesen, die sind meist gar nicht so schwierig.

Auf keinen Fall aber die Suche nach Flüchtigkeitsfehlern vernachlässigen. 

Answer 1

Um 22 Uhr waren 50 mg Koffein in seinem Blut. Der Koffeingehalt nimmt dann jede Stunde um 20% ab.

a) Berechne wie viel mg Koffein Janis um Mitternacht im Blut hat.

um 22 Uhr 50 mg

um 23 Uhr 50*0.8 mg

um 24 Uhr 50*0.8*0.8 mg = 50*0.8² mg = 32 mg

b) Gib einen Term an, mit dem sich die Menge des Koffeins im Blut nach n Stunden berechnen lässt.

K(n) = 50*0.8ⁿ                 Koffein n Stunden nach 22 Uhr.

c) Drei Stunden nach der vollständigen Aufnahme des Koffeins ist nur noch etwa halb so viel Koffein  im Blut   vorhanden.   Überprüfe diese richtige Aussage mit einer Rechnung.

K(3) = 50*0.8³ = 25.6 mg          das ist etwa halb so viel wie 50 mg.

d) Janis Freund behauptet: "Wenn nach drei Stunden nur noch die Hälfte da ist, dann ist nach sechs Stunden kein Koffein mehr vorhanden."  Überprüfe diese Aussage und begründe deine Antwort.

K(6) = 50*0.8⁶ = 13.11 mg ≠ 0mg. Behauptung ist somit falsch.

e) Die Grafik zeigt die exponentielle  Abnahme von 120 mg einer Zuckerart im Blut 

Anfangswert: 120

Nach einer Stunde 42 

45: 120 = 0.375 ist der Faktor, mit dem pro Stunde multipliziert wird.

Die Abnahme ist also 62,5% pro Stunde. Von den folgenden Zahlen nimmt man dann halt 60% UND SCHREIBT BEI F D AUF DAS BLATT 

f) Um wie viel Prozent nimmt die Menge dieser Zuckerart stündlich ab? Schreibe den Buchstaben vor der richtigen Prozentzahl auf dein Reinschriftpapier.

A 20%

B 30%

C 45%

D 60%

g) Die sehr kleinen Werte sind aus dem Diagramm nicht gut ablesbar. Wie viel Milligramm dieser Zuckerart sind nach fünf Stunden noch vorhanden? Rechne mit deinem Prozentsatz aus  f)

RECHNE MIT 60% Abnahme. D.h. Faktor ist 0.4.

Z(5) = 120*0.4^5 = 1.2288 mg

Also ca. 1.2 mg, genauer muss man das vermutlich nicht angeben.