Sei (V,+) eine kommutative Gruppe

Question

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Sei \( (V,+) \) eine kommutative Gruppe, \( K \) ein Körper und \( \cdot: K \times V \rightarrow V \) eine Verknüpfung. Damit \( (V,+, \cdot) \) ein \( K \)-Vektorraum ist, muss die Verknüpfung vier Eigenschaften erfüllen. Weisen Sie diese Eigenschaften konkret für den Fall nach, in dem \( V=\mathbb{R}^{2}, K=\mathbb{R},+ \) die aus der Vorlesung bekannte Vektoraddition und \( \cdot \) die gewöhnliche skalare Vervielfältigung ist.

Answer 1

Die 4 Eigenschaften sind doch wohl

Assoziativität , Distributiv 1, Distributiv 2 und 1·v=v

Also musst du fürs erste zeigen:  Für alle u∈ℝ² und x,y ∈ℝ gilt  x·(y·u)=(x·y)·u

Mit \( u= \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \) wäre also zu prüfen

\( x\cdot (y \cdot  \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} ) =  (x\cdot y) \cdot \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}  \)

Verwende die Definition der "gewöhnlichen skalaren Vervielfältigung" dann hast

du doch \( x\cdot (y \cdot \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} ) = x\cdot   \begin{pmatrix}y \cdot u_1 \\ y \cdot u_2 \end{pmatrix}  \)

und jetzt nochmal diese Def. anwenden gibt

\(=   \begin{pmatrix}  x\cdot (y \cdot u_1) \\ x\cdot (y \cdot u_2 ) \end{pmatrix}  \)

Dann das Assoziativgesetzt im Körper \( (\mathbb{R},+, \cdot) \) anwenden:

\(=  \begin{pmatrix}  (x\cdot y) \cdot u_1 \\ (x\cdot y) \cdot u_2  \end{pmatrix}  \)

und jetzt die Def. von oben rückwärts anwenden

\(  (x\cdot y) \cdot \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}  \)   q.e.d.

So ähnlich bekommst du auch die anderen drei hin, kannst ja ggf.

nochmal nachfragen.

Answer 2

Und wo ist das Problem? Schreibe dir erstmal die zu zeigenden Eigenschaften heraus. Ein Element aus \( \mathbb{R}^2 \) hat die Form eines Vektors mit 2 Komponenten \( u= \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \).