Aloha :)
Die Punktmenge$$F\coloneqq\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\big|x^2+y^2=4\,;\;1\le z\le2\,;\;y\ge0\}$$können wir mit folgendem Ortsvektor in Zylinderkoordinaten abtasten:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad\underbrace{\varphi\in[0|\pi]}_{y\ge0}\quad;\quad z\in[1|2]$$
1) Direkte Berechnung
Da wir 2 Freiheitsgrade, also 2 wählbare Variablen haben, beschreibt \(F\) eine Fläche. Das Differential \(d\vec r\) sagt uns, wie infinitesimale Änderungen in den wählbaren Variablen \(\varphi\) und \(z\) den Ortsvektor \(\vec r\) verändern:$$d\vec r=\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi+\frac{\partial\vec r}{\partial z}\,dz$$Damit kennen wir auch die infinitesimale Änderung des Flächenelments \(d\vec f\) am Ort \(\vec r\):$$d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial z}\,dz\right)=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\times\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\right)\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{d\vec f}=\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\,d\varphi\,dz=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi\,dz$$
Wir sollen nun das Flächenintegral über \(F\) für die Rotation des Vektorfeldes \(\vec A\) bestimmen:$$\operatorname{rot}\vec A=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}yz+z^2\\zx\\z+xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-x\\(y+2z)-y\\z-z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2z\\0\end{pmatrix}$$
Die direkte Berechnung sieht dann so aus:$$I=\int\limits_F\operatorname{rot}\vec A\,d\vec f=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\;\int\limits_{z=1}^2\begin{pmatrix}0\\2z\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi\,dz=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\;\int\limits_{z=1}^24z\sin\varphi\,d\varphi\,dz$$$$\phantom I=2\int\limits_{\varphi=0}^\pi\sin\varphi\int\limits_{z=1}^2 2z\,dz=2\cdot\left[-\cos\varphi\right]_0^\pi\cdot\left[z^2\right]_1^2=2\cdot2\cdot3=12$$
2) Indirekte Berechnung (mit Satz von Stokes)
Bei Anwendung des Satzes von Stokes \(\left(d\vec f\times\vec\nabla=d\vec r\right)\), müssen wir entlang aller Kanten der Fläche \(F\) integrieren. Dazu blicken wir scharf auf die Gleichheitszeichen in den Bedingungen für die Zugehörigkeit zur Menge \(F\) und finden 4 Rander. Oberwichtig ist bei Stokes, dass du die Randkurve in derselben Richtung durchläufst. Daher die pinken Integrationsintervalle.
Wir beginnen bei \(z=1\) und \(\varphi=0\):$$1)\quad z=1\quad\implies\quad\vec r_1=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\1\end{pmatrix}\quad;\quad \varphi\in[0|\pi]$$Nun sind wir bei \(z=1\) und \(\varphi=\pi\). Wir laufen hoch zu \(z=2\):$$2)\quad\varphi=\pi\quad\implies\quad\vec r_2=\begin{pmatrix}-2\\0\\z\end{pmatrix}\quad;\quad z\in[1|2]$$Nun stehen wir bei \(z=2\) und \(\varphi=\pi\). Wir laufen zu \(\varphi=0\):$$3)\quad z=2\quad\implies\quad\vec r_3=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\2\end{pmatrix}\quad;\quad \varphi\in\pink{[\pi|0]}$$Nun stehen wir bei \(z=2\) und \(\varphi=0\). Wir laufen runter zu \(z=1\):$$4)\quad\varphi=0\quad\implies\quad\vec r_4=\begin{pmatrix}2\\0\\z\end{pmatrix}\quad;\quad z\in\pink{[2|1]}$$
Damit können wir das Integral formulieren:$$I=\int\limits_F(\vec\nabla\times\vec A)\,d\vec f=\int\limits_F\underbrace{(d\vec f\times\vec\nabla)}_{=d\vec r}\,\vec A=\int\limits_{\partial F}\vec A\,d\vec r$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\begin{pmatrix}2\sin\varphi\cdot1+1^2\\1\cdot2\cos\varphi\\1+2\cos\varphi\cdot2\sin\varphi\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r_1}{d\varphi}\,d\varphi+\int\limits_{z=1}^2\begin{pmatrix}0\cdot z+z^2\\-2z\\z-2\cdot0\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r_2}{dz}\,dz$$$$\phantom I+\int\limits_{\pink{\varphi=\pi}}^{\pink0}\begin{pmatrix}2\sin\varphi\cdot2+2^2\\2\cdot2\cos\varphi\\2+2\cos\varphi\cdot2\sin\varphi\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r_3}{d\varphi}\,d\varphi+\int\limits_{\pink{z=2}}^{\pink1}\begin{pmatrix}0\cdot z+z^2\\z\cdot2\\z+2\cdot0\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r_4}{dz}\,dz$$
In den beiden letzen Integralen vertauschen wir die pinken Integrationgrenzen und setzen dafür ein Minuszeichen vor das Integral:$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\begin{pmatrix}2\sin\varphi+1\\2\cos\varphi\\1+4\cos\varphi\sin\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi+\int\limits_{z=1}^2\begin{pmatrix}z^2\\-2z\\z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}dz$$$$\phantom I\mathbf{\pink-}\int\limits_{\varphi=0}^\pi\begin{pmatrix}4\sin\varphi+4\\4\cos\varphi\\2+4\cos\varphi\sin\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi\pink-\int\limits_{z=1}^2\begin{pmatrix}z^2\\2z\\z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}dz$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\left(-4\sin^2\varphi-2\sin\varphi+4\cos^2\varphi\right)d\varphi+\cancel{\int\limits_{z=1}^2z\,dz}$$$$\phantom I-\int\limits_{\varphi=0}^\pi\left(-8\sin^2\varphi-8\sin\varphi+8\cos^2\varphi\right)d\varphi-\cancel{\int\limits_{z=1}^2z\,dz}$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\left(4\sin^2\varphi+6\sin\varphi-4\cos^2\varphi\right)d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\left(6\sin\varphi-4\cos(2\varphi)\right)d\varphi$$$$\phantom I=\left[-6\cos\varphi+2\sin(2\varphi)\right]_0^\pi=6-(-6)=12$$
