Zeigen Sie, dass die Population ständig wächst, aber niemals mehr als 1000 Mitglieder hat.

Question

Aufgabe:

Die Änderungsrate dN/dt einer Population von Fruchtfliegen (Drosophila) mit der Populationsgröße N(t) wird durch die Differentialgleichung

\( \frac{dN}{dt} \) = aN^{2} + bN             mit  a= - \( \frac{1}{5000} \)   und b= \( \frac{1}{5} \)

beschrieben. Die Zeit t wird dabei in Tagen gemessen.

a) Lösen Sie die Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung N(0) = 10.

b) Zeigen Sie, dass die Population ständig wächst, aber niemals mehr als 1000 Mitglieder hat.

Problem/Ansatz:

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

Was ist Dein konkretes Problem dabei?

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Da du nur nach b) fragst: Die Antwort findest du aus der Lösung für a).

Was hast du da erhalten?

Wolframalpha liefert übrigens

N(t) = -(b e^(b c_1 + b t))/(a e^(b c_1 + b t) - 1)

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Wolframalpha liefert übrigens

Ich würde bei Wolframalpha alles Bekannte wie a, b und die Anfangsbedingung einsetzen.

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Ich würde bei Wolframalpha alles Bekannte wie a, b und die Anfangsbedingung einsetzen.

Ich würde warten, bis der Fragesteller überhaupt irgendeine Reaktion zeigt.

Answer 1

Folgende Funktion erfüllt die Differenzialgleichung mit Anfangsbedingung.

N(t) = 1000/(1 + 99·e^(- 0.2·t))

99·e^(- 0.2·t) ist dabei streng monoton fallend. Daher ist der Nenner des Bruches streng monoton fallend und daher der Wert des Bruches streng monoton steigend.

Den höchsten Wert bekommen wir also für den Grenzwert t gegen Unendlich. Der Grenzwert, dem man sich nur unendlich dich nähert, ihn aber nicht erreicht, ist 1000.

Comments

Wie bist du auf N(t) gekommen?

Rechenweg?

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Was kommt bei dir beim Lösen der Differenzialgleichung heraus. Wie lautet dein Ansatz?

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Ich bin mit dieser Materie nicht vertraut, sie interessiert mich aber, auch weil es hier um ein praktisches Beispiel geht.

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Du hast hier eine Bernoullische Differenzialgleichung mit α = 2 und daher auch eine logistische Differenzialgleichung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Differentialgleichung

Der allgemeine Ansatz ist daher eine logistische Wachstumsfunktion.

Die allgemeinen Ansätze für verschiedene Arten von Differenzialgleichungen darf man dabei in der Uni typischerweise aus einer Formelsammlung ablesen.

Wenn dich Herleitungen oder Ähnliches interessiert, solltest du dir dazu ein paar Grundlagenvideos ansehen.

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Danke

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